Question

В кубе ABCDA1B1C1D1 проведено сечение MNK, где точка M — середина ребра AD, точка N лежит на ребре AB так, что AN : NB = 1 : 13, точка K лежит на ребре AA1 так, что AK : KA1= 1 : 4. Найдите угол между плоскостями MNK и A1B1C1. (С рисунком)

Answer 1

Примем длину ребра куба равной 70 (для кратности между 14 и 5).

Так как точки М и N, принадлежат плоскости АВС, которая параллельна заданной плоскости А1В1С1, то угол между плоскостями MNK и A1B1C1 равен углу между плоскостями MNK и ABC.

Помести куб в систему координат точкой А в начало,ребром АД по оси Ох, ребром АВ по оси Оу.

В соответствии с заданием определим координаты точек.

А(0; 0; 0), В(0; 70; 0), С(70; 70; 0). Уравнение АВС: z = 0.

M(35; 0; 0), N(0; 5; 0), K(0; 0; 14).

Пусть (х1, х2, х3), (у1, у2, у3) и (z1, z2, z3) – координаты первой, второй и третьей точки соответственно. Уравнение плоскости определяется из выражения: (x-x1)*(у2-y1)*(z3-z1) – (x-x1)*(z2-z1)*(y3-y1) – (y-y1)*(x2-x1)*(z3-z1) + (y-y1)*(z2-z1)*(x3-x1) + (z-z1)*(x2-x1)*(y3-y1) – (z-z1)*(y2-y1)*(x3-x1) = 0.

Подставив координаты точек в данное выражение и сократив на 35, получаем уравнение  плоскости MNК: 2x + 14y + 5z - 70 = 0.

Угол между плоскостями определяем через его косинус:

cos α =  |A₁·A₂ + B₁·B₂ + C₁·C₂|  

√(A₁² + B₁² + C₁²)*√(A₂² + B₂² + C₂²) =  1/3.

  α = arc cos(1/3) = 1,23096 радиан или 70,529 градуса.

 

           

         

Answer 2

К сожалению, как искусственный интеллект, я не могу создавать рисунки. Однако, я могу объяснить, как решить эту задачу.

Для начала, давайте рассмотрим куб ABCDA1B1C1D1 и сечение MNK в нем:

javascriptCopy code
                 A1_______B1
                /|       /|
               / |      / |
              /__|____ /  |
             A  _|____B__| 
             |  |    |  |
             |  |____|__|
             | / C1   | /C
             |/_______|/
            D1       D

Из условия, точка M является серединой ребра AD, а точка N делит ребро AB в отношении 1:13. Точка K делит ребро AA1 в отношении 1:4.

Пусть сторона куба равна a.

Так как AN : NB = 1 : 13, длина AN равна (1/14) * a, а длина NB равна (13/14) * a.

Также, AK : KA1 = 1 : 4, длина AK равна (1/5) * a, а длина KA1 равна (4/5) * a.

Теперь рассмотрим треугольник AMN. Мы знаем, что AM = (1/2) * a (так как M - середина AD).

Теперь, давайте найдем длины MN и NK. Для этого используем теорему Пифагора.

Длина MN: MN^2 = AN^2 + AM^2 MN^2 = ((1/14) * a)^2 + ((1/2) * a)^2 MN^2 = (1/196 + 1/4) * a^2 MN^2 = (49 + 49) * a^2 / 196 MN^2 = 98 * a^2 / 196 MN^2 = a^2 / 2

MN = a / √2

Длина NK: NK^2 = AK^2 + AN^2 NK^2 = ((1/5) * a)^2 + ((1/14) * a)^2 NK^2 = (1/25 + 1/196) * a^2 NK^2 = (196 + 25) * a^2 / (25 * 196) NK^2 = 221 * a^2 / (25 * 196) NK^2 = a^2 / 4

NK = a / 2

Теперь у нас есть длины сторон треугольника MNK: MN = a / √2 и NK = a / 2. Так как угол между плоскостью MNK и плоскостью A1B1C1 будет прямым (так как MN параллельно A1B1 и NK параллельно A1C1), то мы можем сказать, что треугольник MNK - прямоугольный.

Угол между плоскостью MNK и A1B1C1 в прямоугольном треугольнике равен углу между гипотенузой и основанием. Это просто угол, обратный тангенсу отношения катетов (в данном случае NK и MN).

Угол между плоскостью MNK и A1B1C1 = arctan(NK / MN) = arctan((a / 2) / (a / √2)) = arctan(√2 / 2) = 45°.

Таким образом, угол между плоскостью MNK и A1B1C1 составляет 45 градусов.