Question

В опуклому чотирикутнику ABCD діагоналі AC і BD взаємно перпендикулярні.Доведіть,що AB^2+DC^2=AD^2+BC^2.

Answer 1

Диагонали АС и ВД пересекаются в точке О, разбивая заданный четырёхугольник на четыре прямоугольных треугольника: АВО; ВСО; ДСО и АДО.

Используем теорему Пифагора для каждого треугольника.

ΔАВО: АВ² = АО²+ВО²

ΔДСО: ДС² = СО² + ДО²

Сложим эти выражения АВ² + ДС² = АО² + ВО² + СО² + ДО² (1)

Теперь рассмотрим два других треугольника

ΔВСО: ВС² = ВО² + СО²

ΔАДО: АД² = АО² + ДО²

Сложим эти выражения

ВС² + АД² = АО² + ВО² + СО² + ДО² (2)

Правые части выражений (1) и (2) равны, следовательно, равны и левые части: АВ² + ДС² = ВС² + АД², что и требовалось доказать

Answer 2

Для доведення твердження, що в опуклому чотирикутнику ABCD, діагоналі AC і BD взаємно перпендикулярні, маємо:

1. Враховуємо, що для будь-якого трикутника теорема Піфагора стверджує, що квадрат довжини гіпотенузи дорівнює сумі квадратів довжин двох катетів: Для трикутника ABD: AB^2 = AD^2 + BD^2 ............ (1)

   Для трикутника BCD: BC^2 = BD^2 + DC^2 ............ (2)

2. Тепер роздивимось трикутники ABC і CDA:

   Для трикутника ABC: AC^2 = AB^2 + BC^2 ............ (3)

   Для трикутника CDA: AC^2 = AD^2 + DC^2 ............ (4)

3. Оскільки у нас є чотирикутник ABCD, діагоналі AC і BD взаємно перпендикулярні. Тому з теореми Піфагора для трикутників ABD і BCD можна записати: AB^2 + BD^2 = AD^2 ............ (5) BD^2 + DC^2 = BC^2 ............ (6)

4. Тепер додамо (5) і (6): AB^2 + BD^2 + BD^2 + DC^2 = AD^2 + BC^2

5. Скористаємося рівняннями (1) і (2) з трикутників ABD і BCD: AB^2 + 2BD^2 + DC^2 = AD^2 + BC^2

6. Тепер віднімемо (3) і (4) з трикутників ABC і CDA: AB^2 + 2BD^2 + DC^2 - (AB^2 + DC^2) = AD^2 + BC^2 - (AD^2 + DC^2)

7. Зведемо подібні терміни: 2BD^2 = BC^2

8. Поділимо обидві сторони на 2: BD^2 = 1/2 * BC^2

9. Підставимо значення BD^2 з (8) у (5): AB^2 + 1/2 * BC^2 + DC^2 = AD^2 + BC^2

10. Перенесемо BC^2 на ліву сторону рівняння: AB^2 + 1/2 * BC^2 + DC^2 - BC^2 = AD^2

11. Скористаємося властивістю комбінування термінів: AB^2 + DC^2 = AD^2 + 1/2 * BC^2

Таким чином, ми довели, що в опуклому чотирикутнику ABCD з перпендикулярними діагоналями AC і BD, справедлива рівність: AB^2 + DC^2 = AD^2 + 1/2 * BC^2.