Question

Основанием пирамиды является равносторонний треугольник со стороной "а". Две боковые грани ее перпендикулярны к плоскости основания, а третья образует с плоскостью основания угол 60 градусов. Найти объем пирамиды.

Answer 1

ΔАВС - равносторонний , АВ=АС=ВС=а .

Угол между пл. АВД и пл. АВС = 60°. Этот угол образован перпендикуляром ДН в плоскости АВД и высотой СН треугольника АВС. Точка Н - середина стороны АВ. ДН ⊥АВ, т.к. ΔАВС - равнобедренный (АД=ВД как наклонные, у которых равные проекции АС и ВС).

СН=а√3/2 ( высота равностороннего треугольника)

ΔСДН: ∠ДСН=90° , т.к. по условию ДС⊥ пл. АВС ⇒ ДС⊥любой прямой в пл. АВС.

∠ДНС=60°, ДС/СН=tg60° ⇒ ДC=CН*tg60°=(а√3/2)*√3=3а/2

S(АВС)=а²√3/4 (площадь равностороннего треугольника)

V(пир.)=1/3*h*S(осн.)=1/3*ДС*S(АВС)=1/3*3а/2*(а²√3/4)=а³√3/8 .

Answer 2

Для вычисления объема пирамиды, основание которой является равносторонним треугольником, а высота образует с плоскостью основания угол 60 градусов, нужно использовать формулу объема пирамиды:

V = (1/3) * S * h,

где: V - объем пирамиды, S - площадь основания пирамиды, h - высота пирамиды.

Для начала, найдем площадь равностороннего треугольника. Пусть сторона треугольника равна "a". Тогда его площадь можно найти по формуле:

S_основания = (sqrt(3) / 4) * a^2.

Далее, нужно найти высоту пирамиды "h". В этой задаче у нас имеются две высоты:

1. Высота, проходящая из вершины пирамиды перпендикулярно к плоскости основания (третья сторона равностороннего треугольника) - обозначим её "h_1".
2. Высота, образующая угол 60 градусов с плоскостью основания - обозначим её "h_2".

В данном случае, нам нужна вторая высота "h_2", так как она соответствует условию задачи.

Выразим "h_2" через сторону треугольника "a":

h_2 = a * sin(60°) = a * (sqrt(3) / 2).

Теперь, когда у нас есть площадь основания "S_основания" и высота "h_2", можем найти объем пирамиды:

V = (1/3) * S_основания * h_2 V = (1/3) * ((sqrt(3) / 4) * a^2) * (a * (sqrt(3) / 2)).

Упростим:

V = (1/3) * ((sqrt(3) / 4) * a^2) * (sqrt(3) / 2) * a V = (sqrt(3) / 24) * a^3.

Таким образом, объем пирамиды равен (sqrt(3) / 24) * a^3.