Question

Внутри треугольника АВС взята точка М и построены параллелограммы АМВМ1, ВМСМ2 и СМАМ3. Докажите, что прямые АМ2, ВМ3 и СМ1 пересекаются в одной точке. Помогите пожалуйста.

Answer 1

Противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны.

AM1||BM, BM||CM2 => AM1||CM2

AM1=BM, BM=CM2 => AM1=CM2

ACM2M1 - параллелограмм (противоположные стороны равны и параллельны).

N - середина AM2 и CM1 (диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам).

Аналогично ABM2M3 - параллелограмм, N - середина AM2 и BM3.

Точка N является общей серединой отрезков AM2, BM3, CM1.

Answer 2

Для доказательства того, что прямые АМ2, ВМ3 и СМ1 пересекаются в одной точке, воспользуемся свойствами параллелограммов и линейными угловыми соотношениями.

Пусть точка пересечения прямых АМ2, ВМ3 и СМ1 обозначается буквой О.

1. Докажем, что АМ2 || ВС. Для этого рассмотрим параллелограммы АМВМ1 и ВМСМ2. Внутренние углы параллелограммов равны, поэтому: ∠АМВ = ∠М1МВ и ∠ВМС = ∠СМ2. Но поскольку прямые АМ и ВМ2 - это диагонали параллелограмма АМВМ2, они делят друг друга пополам: ∠АМВ = ∠ВМ2М и ∠М1МВ = ∠МВМ2. Таким образом, ∠ВМ2М = ∠СМ2. Из этого следует, что прямая АМ2 параллельна прямой ВС.

2. Докажем, что АМ3 || ВА. Аналогично рассмотрим параллелограммы ВМСМ2 и СМАМ3. По аналогичным угловым соотношениям получим: ∠ВМС = ∠М2МС и ∠СМА = ∠АМ3. Также, как и в предыдущем шаге, прямая ВМ3 параллельна стороне ВА.

3. Теперь рассмотрим параллелограмм АМ1СМ3. Здесь: ∠АМ1С = ∠СМ3А (внутренние углы параллельных сторон). Но поскольку АМ1 || СМ3 (это третий параллелограмм), то ∠АМ1С = ∠СМ3А = 180° - ∠АМС. Заметим также, что у нас есть параллельные прямые АМ2 || ВС и АМ3 || ВА, поэтому ∠АМС = ∠В.

4. Теперь у нас есть равные углы ∠ВМ3М2 и ∠В, а также ∠ВМ3М2 = ∠СМ3А (по свойству параллельных прямых и трансверсали).

5. Рассмотрим треугольник ВОМ3. В нем у нас есть два угла с равными мерами: ∠ВМ3М2 и ∠В, а это означает, что третий угол, ∠ВОМ3, также имеет ту же меру.

6. Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, то ∠ВОМ3 + ∠ВМ3О + ∠ОМ3В = 180°.

7. Таким образом, ∠ВМ3О = 180° - ∠ВОМ3 = 180° - ∠В = ∠АМС.

8. Однако ∠ВМ3М2 = ∠АМС, поэтому ∠ВМ3О = ∠ВМ3М2.

9. Из равенства углов следует, что прямые АМ2, ВМ3 и СМ1 пересекаются в одной точке О.

Таким образом, мы доказали, что прямые АМ2, ВМ3 и СМ1 пересекаются в одной точке, что и требовалось доказать.