Question

Ребро куба ABCDA1B1C1D1 дорівнює a. Знайдіть відстань між прямими B1D і AA1.

Answer 1

Пусть А - начало координат.
Ось X -AB
Ось У - АD
Ось Z - AA1
 
Вектора
AD(0;a;0)
AA1(0;0;a)
B1D(-a;a-a)  

Искомое расстояние

| AD * AA1xB1D | / | AA1xB1D | =
a^3/ √(a^4+a^4)= a√2/2

Answer 2

Для знаходження відстані між прямими B1D і AA1 потрібно спочатку знайти координати точок B1, D та A1.

У кубі ABCDA1B1C1D1 усі грані розміщені паралельно площині XY. Точки A і A1 мають однакові координати, оскільки вони лежать на вершині однієї і тієї ж вершини куба. Нехай координати точки A (та A1) дорівнюють (x, y, z).

Також, довжина ребра куба дорівнює a. Тому координати точок B, B1, C, C1, D, D1 можна записати наступним чином:

B (x + a, y, z) B1 (x + a, y, 0) C (x + a, y + a, z) C1 (x + a, y + a, 0) D (x, y + a, z) D1 (x, y + a, 0)

Тепер, потрібно знайти відстань між прямими B1D і AA1. Пряма B1D лежить у площині XZ, оскільки y-координата точки B1 та D співпадають. Пряма AA1 теж лежить у площині XZ, оскільки точки A і A1 мають однакові координати за винятком y-координати.

Отже, для знаходження відстані між прямими B1D і AA1, нам потрібно знайти відстань між точками B1 і AA1 у площині XZ. Враховуючи, що y-координати точок B1 та AA1 співпадають, маємо:

Відстань між B1 і AA1 = відстань між точками (x + a, 0) та (x, 0) = |(x + a) - x| = |a| = a

Отже, відстань між прямими B1D і AA1 дорівнює a.