Question

Докажите , что диагональ параллелограмма разбивает его на два равных треугольника

Answer 1

По определению :  каждая диагональ делит параллелограмма на два равных треугольника

Answer 2

Для доказательства того, что диагональ параллелограмма разбивает его на два равных треугольника, давайте обратимся к свойствам параллелограммов.

Параллелограмм - это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны. Это свойство позволяет нам использовать теорему о параллельных линиях:

Теорема: Если две прямые линии параллельны, то все перпендикуляры, проведенные из одной из них к другой, равны между собой.

Теперь предположим, что у нас есть параллелограмм ABCD, и пусть AC - его диагональ. Давайте проведем перпендикуляры из точек A и C к диагонали AC. Обозначим точку пересечения перпендикуляров из A и C с диагональю AC соответственно как P и Q:

cssCopy code
A----P
|   /|
|  / |
| /  |
C----Q

Теперь у нас есть два треугольника: △APC и △CQD.

Мы знаем, что диагональ AC разбивает параллелограмм на два равных треугольника, если длины отрезков, соединяющих вершины параллелограмма с серединой диагонали, равны. Другими словами, для того чтобы доказать, что △APC и △CQD равны, достаточно показать, что AP = CQ.

Так как AD || BC (так как это параллелограмм), и AC - их общая диагональ, мы можем применить свойство параллельных линий и утверждение о перпендикулярах:

AP || CQ (параллельные линии) и PC - общая диагональ.

Теперь рассмотрим △APC и △CQD:

1. Они имеют общую сторону PC.
2. У них равны два угла: ∠APC и ∠CQD (они вертикальные углы и равны по определению параллельных прямых).
3. Мы доказали, что AP || CQ.

Таким образом, △APC и △CQD являются подобными треугольниками, и по свойству подобных треугольников, их соответственные стороны пропорциональны.

Но так как у них есть общая сторона PC, то AP и CQ должны быть равны, и, следовательно, △APC и △CQD равны.

Таким образом, диагональ AC параллелограмма ABCD действительно разбивает его на два равных треугольника.