Вопрос задан 28.07.2023 в 01:16. Предмет Геометрия. Спрашивает Екимов Дмитрий.

(Алгебра ) Доказать что 6n^5 +15n^4 +40n^3-n делится на 30 при любом n принадлежит натуральным

числам

Перейти к ответам

Отвечу на вопрос мгновенно! Нейросеть ChatGPT. Жми!

Ответы на вопрос

Внимание! Ответы на вопросы дают живые люди. Они могут содержать ошибочную информацию, заблуждения, а также ответы могут быть сгенерированы нейросетями. Будьте внимательны. Если вы уверены, что ответ неверный, нажмите кнопку "Пожаловаться" под ответом.

Отвечает Вотчал Валерия.

30=2*3*5 - произвеление взаимно простых чисел. Значит, достаточно доказать, что делится на 2, на 3, на 5

1) деление на 2

6п⁵+40п³ естественно, четное, т.е. делится на 2

15п⁴-п=п(15п³-1) если п - четное, то произведение делится на 2, если п нечетное, то в скобках получается четное число, т.е. опять произведение делится на 2.

2) деление на 3

6п⁵+15п⁴=3(2п⁵+5п⁴) - естественно , делится на 3

40п³-п=39п³+п³-п первое слагаемое делится на 3, провероим остальное . п³-п=п*(п²-1)=(п-1)*п*(п+1) имеем произведение последовательных чисел, одно из которыз ОБЯЗАТЕЛЬНО кратно 3.

3) 15п⁴+40п² естественно делится на 5

проверим 6п⁵-п

6п⁵-п=5п⁵+п⁵-п

5п⁵ делится на 5, проверим п⁵-п

п⁵-п=п*(п⁴-1)=п(п²-1)(п²+1)=п(п-1)(п+1)(п²+1)=п(п-1)(п+1)(п²-4+5)=

=п(п-1)(п+1)(п²-4)+5п(п-1)(п+1) второе слагаемое делится на 5, проверим первое

п(п-1)(п+1)(п²-4)=п(п-1)(п+1)(п-2)(п+2)=(п-2)(п-1)п(п+1)(п+2) имеем произведение последовательных 5 чисел, из которых одно обязательно делится на 5

Все.

Отвечает нейросеть ChatGpt. Будьте внимательны, ответы нейросети могут содержать ошибочные или выдуманные данные.

Для доказательства того, что выражение $6n^5 + 15n^4 + 40n^3 - n$ делится на 30 при любом $n$ , применим метод математической индукции.

Шаг 1: Проверим базовый случай. При $n = 1$ , выражение равно: $6 \cdot 1^5 + 15 \cdot 1^4 + 40 \cdot 1^3 - 1 = 6 + 15 + 40 - 1 = 60$ . Поскольку 60 делится на 30 без остатка ( $60 = 2 \cdot 30$ ), базовый случай выполняется.

Шаг 2: Предположим, что утверждение верно для некоторого $k$ , т.е. $6k^5 + 15k^4 + 40k^3 - k$ делится на 30.

Шаг 3: Докажем, что утверждение верно и для $k+1$ , т.е. докажем, что $6(k+1)^5 + 15(k+1)^4 + 40(k+1)^3 - (k+1)$ делится на 30.

Раскроем скобки: $6(k+1)^5 = 6(k^5 + 5k^4 + 10k^3 + 10k^2 + 5k + 1)$ $15(k+1)^4 = 15(k^4 + 4k^3 + 6k^2 + 4k + 1)$ $40(k+1)^3 = 40(k^3 + 3k^2 + 3k + 1)$

Теперь объединим все слагаемые: $6(k+1)^5 + 15(k+1)^4 + 40(k+1)^3 - (k+1) = 6(k^5 + 5k^4 + 10k^3 + 10k^2 + 5k + 1) + 15(k^4 + 4k^3 + 6k^2 + 4k + 1) + 40(k^3 + 3k^2 + 3k + 1) - (k + 1)$

Разобьем эту сумму на отдельные части: $6k^5 + 15k^4 + 40k^3 + 6k + 1 + 30k^4 + 120k^3 + 180k^2 + 120k + 30 + 40k^3 + 120k^2 + 120k + 40 - (k + 1)$

Сгруппируем подобные члены: $6k^5 + 30k^4 + 40k^3 + 15k^4 + 120k^3 + 40k^3 + 180k^2 + 120k^2 + 120k^2 + 6k + 120k + 30 + 40 - k - 1$

(Алгебра ) Доказать что 6n^5 +15n^4 +40n^3-n делится на 30 при любом n принадлежит натуральным

Ответы на вопрос

Похожие вопросы

Топ вопросов за вчера в категории Геометрия

Последние заданные вопросы в категории Геометрия