Question

20 баллов. АBCDA1B1C1D1 - куб. Чему равен угол между СD1 и ВС1? Решение с рисунком и обьяснениями.

Answer 1

Прямая CD1 пересекает плоскость BCC1 в точке С, не лежащей на прямой BC1, т.е. прямые СD1 и ВС1 скрещиваются. Угол между скрещивающимися прямыми - это угол между параллельными им прямыми, лежащими в одной плоскости. Прямая BA1 параллельна прямой CD1 (BCD1A1 - параллелограмм). Треугольник A1BC1 - равносторонний, т.к. образован диагоналями граней куба, угол A1BC1=60.

Answer 2

Для начала давайте разберем, как выглядит куб ABCDA1B1C1D1. Зная это, мы сможем определить положение ребер и углов куба.

Представим себе куб ABCDA1B1C1D1 в пространстве. Схематично он может быть представлен следующим образом:

javascriptCopy code
     A1------------B1
    / |           / |
   /  |          /  |
  /   |         /   |
 A----B--------C----D
 |    |        |    |
 |    C1-------|--D1
 |   /         |   /
 |  /          |  /
 | /           | /
 A-------------B1

Теперь обратим внимание на грани, образованные ребрами CD1 и ВС1.

Грань ABCD является горизонтальной основой куба, а грань A1B1C1D1 - верхней горизонтальной гранью куба. Ребра CD1 и ВС1 расположены вертикально и соединяют соответствующие вершины между собой.

Для того чтобы найти угол между ребрами CD1 и ВС1, нужно рассмотреть треугольник CD1C1.

javascriptCopy code
     A1------------B1
    / |           / |
   /  |          /  |
  /   |         /   |
 A----B--------C----D
 |    |        |    |
 |    C1-------|--D1
 |   /   \ α   |   /
 |  /           |  /
 | /           | /
 A-------------B1

Треугольник CD1C1 является прямоугольным, так как он образован вертикальной проекцией ребра CD1 и горизонтальной стороной куба A1B1C1D1.

Теперь давайте обратим внимание на треугольник CD1C1. Этот треугольник также является прямоугольным, и у нас есть два катета: CD1 и CC1 (ребро куба).

Обозначим угол α, который мы ищем.

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник с известными сторонами. Мы можем использовать тригонометрические функции для нахождения угла α.

Тангенс угла α определяется как отношение противоположного катета (CD1) к прилежащему катету (CC1):

scssCopy code
tan(α) = CD1 / CC1

Тепер нужно найти значения CD1 и CC1. В кубе все ребра равны, так как у него все грани - квадраты. Обозначим длину ребра куба как "a".

cssCopy code
CD1 = a
CC1 = a

Теперь можем найти тангенс угла α:

cssCopy code
tan(α) = CD1 / CC1 = a / a = 1

Теперь, чтобы найти угол α, возьмем арктангенс (обратная функция тангенса) от 1:

scssCopy code
α = atan(1)

Используя калькулятор, получим значение угла α:

Copy code
α ≈ 45°

Таким образом, угол между ребрами CD1 и ВС1 составляет приблизительно 45 градусов.