Question

Прямые a и b пересекаются в точке О. Прямые c и d, не проходящие через точку О, пересекают каждую из прямых a и b. Докажите, что прямые c и d лежат в одной плоскости.

Answer 1

Пусть прямые пересекаются в точках, как указано на рисунке.

через три точки можно провести плоскость
и притом только единственным образом

EGO лежат в одной плоскости
DOF лежат в одной плоскости

но эта плоскость одна и та же, так как содержит прямые а и b, которые однозначно определяются точками соответственно а: D и Е
и b: F и G ( через 2 прямые можно провести
прямую лишь единственным образом)


но в этой плоскости лежат
и наши прямые b и c, которые однозначно определяются двумя точками соответственно:
G и E (прямая b)
D и F (прямая c)

что и требовалось доказать.

Answer 2

Для доказательства того, что прямые c и d лежат в одной плоскости, мы можем воспользоваться теоремой о трёх перпендикулярах. Эта теорема гласит, что если три пересекающиеся прямые образуют перпендикулярные сегменты, то они лежат в одной плоскости.

Для начала обозначим точку пересечения прямых a и b как O. Поскольку прямые c и d пересекают прямую a, образуя перпендикулярные сегменты, мы получаем два перпендикулярных сегмента на прямой a: сегмент между точкой O и точкой пересечения с прямой c, а также сегмент между точкой O и точкой пересечения с прямой d.

Аналогично, так как прямые c и d пересекают прямую b, они образуют два перпендикулярных сегмента на прямой b: сегмент между точкой O и точкой пересечения с прямой c, и сегмент между точкой O и точкой пересечения с прямой d.

Таким образом, у нас есть два перпендикулярных сегмента на прямой a и два перпендикулярных сегмента на прямой b, все сходящиеся в точке O.

Теперь давайте рассмотрим плоскость, содержащую прямые a и b. В этой плоскости мы имеем точку O и четыре перпендикулярных сегмента (по два на каждой прямой), все они лежат в этой плоскости.

Теперь рассмотрим прямые c и d. Поскольку они пересекают прямые a и b, а каждая из них содержит точку O и по два перпендикулярных сегмента в этой плоскости, они также должны лежать в этой плоскости.

Таким образом, прямые c и d лежат в одной плоскости, которая содержит прямые a и b, а также точку их пересечения O.