Question

Напишіть рівняння кола радіусом корінь √10 яке проходить через точку (5;3) якщо його центр знаходиться на бісектрисі першої координатної чверті

Answer 1

Уравнение биссектрисы первой координатной четверти

y = x

Пусть координата центра окружности О(x; x)

Квадрат расстояния от центра окружности до точки (5; 3)

l² = (x - 5)² + (x - 3)² = 10

x² - 10x + 25 + x² - 6x + 9 = 10

2x² - 16x + 24 = 0

x² - 8x + 12 = 0

Дискриминант

D = 64 - 4*12 = 16

Корни

x₁ = (8 - 4)/2 = 2

x₂ = (8 + 4)/2 = 6

Оба решения годятся.

Первое

О₁(2; 2)

(x - 2)² + (y - 2)² = 10

Второе

О₂(2; 2)

(x - 6)² + (y - 6)² = 10

Answer 2

Для того щоб знайти рівняння кола з заданим радіусом, центром і точкою, через яку воно проходить, можемо скористатися загальною формулою кола:

Рівняння кола загального вигляду: (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2

де (h, k) - координати центру кола, а r - радіус.

Оскільки центр кола знаходиться на бісектрисі першої координатної чверті, це означає, що він лежить на прямій, яка є бісектрисою кута між віссю X і віссю Y. Така пряма проходить через точку (0, 0) та точку (5, 5).

Тобто, координати центру кола будуть середніми значеннями цих двох точок:

h = (0 + 5) / 2 = 5/2 k = (0 + 5) / 2 = 5/2

Також, заданий радіус кола рівний кореню з 10:

r = √10

Тепер, підставимо знайдені значення у загальне рівняння кола:

(x - 5/2)^2 + (y - 5/2)^2 = (√10)^2

Спростимо:

(x - 5/2)^2 + (y - 5/2)^2 = 10

Таким чином, рівняння кола з радіусом корінь √10 і центром на бісектрисі першої координатної чверті та проходить через точку (5, 3) має вигляд:

(x - 5/2)^2 + (y - 5/2)^2 = 10