Question

ОКРУЖНОСТИ S1 И S2 С РАДИУСАМИ R1 И R2 ИМЕЮТ ОБЩУЮ ТОЧКУ A. Прямая 1 является касательной и к окружности s1, и к окружности s2, и имеет с ними общие точки B и C соответственно. Доказать, что радиус окружности s3, которая проходит через точки A, B и C равняется √(r1r2) Пожалуйста.

Answer 1

Решение задания приложено

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся свойством касательных окружностей и теоремой о радикальной оси.

Пусть S1 и S2 - окружности с радиусами R1 и R2 соответственно, имеющие общую точку A. Также пусть прямая 1 является касательной к окружности S1 и проходит через точку B. Аналогично, прямая 2 является касательной к окружности S2 и проходит через точку C.

Тогда рассмотрим следующие радиусы:

1. Радиус окружности S1: R1
2. Радиус окружности S2: R2
3. Радиус окружности S3: R3 (которую мы хотим найти)

Из теоремы о касательных мы знаем, что радиус окружности перпендикулярен касательной в точке касания. Таким образом, имеем следующее:

AB ⊥ 1 и AC ⊥ 2

Теперь рассмотрим радикальную ось для окружностей S1 и S3, которая проходит через точки A и B. Обозначим радиус окружности S3 как R3.

Из теоремы о радикальной оси мы знаем, что длины касательных сегментов, проведенных из общей точки к радикальной оси, равны. То есть:

AB^2 = R1 * R3

Аналогично, рассмотрим радикальную ось для окружностей S2 и S3, которая проходит через точки A и C:

AC^2 = R2 * R3

Теперь заметим, что точки B и C также лежат на прямой 1 и 2 соответственно, поскольку они являются точками касания. Поскольку прямая 1 и 2 пересекаются в точке A, значит, у них есть общая точка, которая не является A. Пусть эта точка называется D.

Тогда из теоремы о касательных и пересекающихся хордах:

AB * AD = AC * AD

Теперь мы можем преобразовать эти равенства, чтобы выразить AD через R1, R2 и R3:

(AB^2) * AD = (AC^2) * AD

(R1 * R3) * AD = (R2 * R3) * AD

Заметим, что R3 и AD присутствуют в обоих частях равенства и ненулевые значения AD, R1, R2 и R3, так как AD - это расстояние между точками B и C, которые не совпадают.

Теперь мы можем сократить общий множитель AD:

R1 * R3 = R2 * R3

Из этого равенства мы получаем:

R1 = R2

Теперь, если R1 = R2, то можно заметить, что R3 = R1 = R2 = √(R1 * R2).

Таким образом, радиус окружности S3, проходящей через точки A, B и C, равен √(R1 * R2). Q.E.D.