Question

Даны точки A(0;0) B(4;4) C(0;8) D(-4;4).Покажите, что четырехугольник ABCD-Квадрат Распишете пж

Answer 1

Вычислим длины сторон четырехугольника ABCD.

Вычислим длины сторон четырехугольника ABCD.

т.е. , значит АВСД - ромб

Вычислим диагонали ромба АС и БД

Если диагонали ромба равны, то этот ромб, являющийся прямоугольником, — это квадрат, значит, ABCD — квадрат. Что и требовалось доказать.

Answer 2

Для того чтобы показать, что четырехугольник ABCD является квадратом, нужно доказать, что его стороны равны по длине, и углы прямые (равны 90 градусам).

1. Вычислим длины сторон четырехугольника ABCD:

• AB: √((x_B - x_A)² + (y_B - y_A)²) = √((4 - 0)² + (4 - 0)²) = √(16 + 16) = √32 ≈ 5.65685
• BC: √((x_C - x_B)² + (y_C - y_B)²) = √((0 - 4)² + (8 - 4)²) = √((-4)² + 4²) = √32 ≈ 5.65685
• CD: √((x_D - x_C)² + (y_D - y_C)²) = √((-4 - 0)² + (4 - 8)²) = √((-4)² + (-4)²) = √32 ≈ 5.65685
• DA: √((x_A - x_D)² + (y_A - y_D)²) = √((0 - (-4))² + (0 - 4)²) = √(4² + 4²) = √32 ≈ 5.65685

2. Проверим, что углы прямые, используя свойство перпендикулярности.

• Угол ABC: Вычислим угловой коэффициент прямой AB: m_AB = (y_B - y_A) / (x_B - x_A) = (4 - 0) / (4 - 0) = 4 / 4 = 1. Теперь вычислим угловой коэффициент прямой BC: m_BC = (y_C - y_B) / (x_C - x_B) = (8 - 4) / (0 - 4) = 4 / (-4) = -1. Если угловые коэффициенты этих прямых равны -1 и 1, соответственно, то прямые перпендикулярны. Это доказывает, что угол ABC - прямой.

• Угол BCD: Аналогично, вычислим угловые коэффициенты прямых BC и CD. m_BC = -1 (уже вычислено ранее), m_CD = (-4 - 0) / (4 - (-4)) = -4 / 8 = -1. Угловые коэффициенты прямых BC и CD равны -1, следовательно, угол BCD - прямой.

• Угол CDA: Вычислим угловые коэффициенты прямых CD и DA. m_CD = -1 (уже вычислено ранее), m_DA = (0 - (-4)) / (0 - 0) = 4 / 0 (деление на ноль, прямая DA вертикальна). Поскольку угловой коэффициент прямой DA не определен (бесконечность), то она вертикальна и перпендикулярна прямой CD. Это означает, что угол CDA также является прямым углом.

• Угол DAB: Вычислим угловые коэффициенты прямых DA и AB. m_DA = 4 / 0 (вертикальная прямая), m_AB = 1 (уже вычислено ранее). Поскольку угловой коэффициент прямой DA не определен, она вертикальна и перпендикулярна прямой AB. Таким образом, угол DAB тоже является прямым углом.

Поскольку все стороны четырехугольника ABCD равны по длине (AB = BC = CD = DA) и все его углы прямые, мы можем заключить, что ABCD - квадрат.