Question

Прямоугольник со сторонами a и b вращают вокруг той оси который проходить через один из его вершин и параллельно диагонали . Найти площадь поверхности тела вращения. Ответ

Answer 1

task/30245639  см ПРИЛОЖЕНИЕ

ответ : S вр = 4πab / √(a² + b²)

Answer 2

Для нахождения площади поверхности тела вращения прямоугольника вокруг оси, проходящей через одну из его вершин и параллельной диагонали, мы можем использовать интегральный метод. Площадь поверхности тела вращения можно найти с помощью следующего интеграла:

$S = \int_{0}^{b} 2\pi y \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}dx$

где y - функция, определяющая форму прямоугольника в проекции на плоскость вращения. В нашем случае y зависит от x и равна $y = \frac{b}{a}x$.

Таким образом, производная $\frac{dy}{dx} = \frac{b}{a}$.

Теперь мы можем вычислить интеграл:

$S = \int_{0}^{b} 2\pi \left(\frac{b}{a}x\right) \sqrt{1+\left(\frac{b}{a}\right)^2}dx$

$S = 2\pi \frac{b^2}{a} \int_{0}^{b} \sqrt{1+\left(\frac{b}{a}\right)^2}dx$

$S = 2\pi \frac{b^2}{a} \cdot \left[\frac{x}{\sqrt{1+\left(\frac{b}{a}\right)^2}}\right]_{0}^{b}$

$S = 2\pi \frac{b^2}{a} \cdot \left[\frac{b}{\sqrt{1+\left(\frac{b}{a}\right)^2}} - \frac{0}{\sqrt{1+\left(\frac{b}{a}\right)^2}}\right]$

$S = 2\pi \frac{b^2}{a} \cdot \frac{b}{\sqrt{1+\left(\frac{b}{a}\right)^2}}$

$S = \frac{2\pi b^3}{a \sqrt{a^2 + b^2}}$

Таким образом, площадь поверхности тела вращения прямоугольника вокруг указанной оси равна $\frac{2\pi b^3}{a \sqrt{a^2 + b^2}}$.