Question

Круг вписан в равнобедренную трапецию, боковая сторона которой равна 10 см. Найдите периметр трапеции.

Answer 1

Трапеция АВСД ,  АВ=СД=10 см.

Так как в трапецию вписана окружность, то суммы противолежащих сторон этой трапеции должны быть равны. То есть сумма оснований должна быть равна сумме боковых сторон:  АВ+СД=ВС+АД=10+10=20.

Периметр  Р=(АВ+СД+(ВС+АД)=20+20=40 (см).

Теорема.  В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится знать свойство вписанного круга в равнобедренную трапецию: линия, соединяющая точки касания круга с боковыми сторонами трапеции, является высотой трапеции, а также равна диаметру вписанного круга.

Обозначим высоту равнобедренной трапеции как 'h', а радиус вписанного круга как 'r'.

Так как трапеция равнобедренная, её боковая сторона является высотой и является равной 'h'. Зная это, мы можем применить теорему Пифагора к равнобедренному треугольнику, образованному высотой, половиной основания и радиусом вписанного круга:

$h^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + r^2$

где 'a' - основание трапеции, равное 10 см.

Теперь найдем периметр трапеции, который равен сумме длин всех её сторон:

$\text{Периметр} = a + b_1 + b_2 + c$

где 'a' и 'c' - основания трапеции, а 'b_1' и 'b_2' - боковые стороны трапеции.

Так как трапеция равнобедренная, то 'b_1 = b_2' (боковые стороны равны). Тогда периметр можно переписать так:

$\text{Периметр} = a + 2b_1 + c$

Теперь давайте решим систему уравнений для 'h' и 'r':

$h^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + r^2$ $10^2 = \left(\frac{10}{2}\right)^2 + r^2$ $100 = 25 + r^2$ $r^2 = 75$ $r = \sqrt{75} \approx 8.66 \text{ см}$

Теперь, найдем высоту 'h' с помощью радиуса 'r':

$h^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + r^2$ $h^2 = \left(\frac{10}{2}\right)^2 + 8.66^2$ $h^2 = 25 + 75$ $h^2 = 100$ $h = \sqrt{100} = 10 \text{ см}$

Теперь найдем периметр трапеции:

$\text{Периметр} = a + 2b_1 + c$ $\text{Периметр} = 10 + 2 \times 10 + 10 = 40 \text{ см}$

Таким образом, периметр равнобедренной трапеции равен 40 см.