Question

В прямоугольнике трапеции острый угол и угол, который оставляет меньшая диагональ с меньшим основанием, равны. Острый угол трапеции равен 60°. Выислите отношение длины средней линии трапеции к длине ее меньшего основания. СРОЧНО ПОМОГИТЕ, УМОЛЯЮ!!! Только распишите поподробнее! Даю 20 балов.

Answer 1

абсд прямоугольная трапеция, ад нижнее, бс верхне основания, углы при вершинах а и б прямые. По условию, углы вса и сда равны 60. Углы сад и асб равны как накрестлежпщие при параллельных основаниях. Поэтому треугольник асд равносторонний. Стороны ад, ас и сд равны. Можно считать, что равны 1. Треугольник абс прямоугольный, катет вс лежит против угла в 30 и поэтому равен половине гипотенузы ас, то есть одна вторая или две четверти.

Поехали считать. Средняя линия полусумма ад и бс, то есть 3 четверти. Поэтому средняя линия относится к меньшему основанию, то есть к бс, как 3 к 2. Или другими словами, средняя линия в 1,5 раз длиннее меньшего основания.

Всё.

Answer 2

Хорошо, давайте разберемся в этой задаче. Пусть у нас есть прямоугольная трапеция ABCD, где AB — большее основание, CD — меньшее основание, AD и BC — боковые стороны.

Условие гласит, что острый угол трапеции равен 60°. Пусть это будет угол A, как показано на рисунке ниже:

mathematicaCopy code
       A
      / \
     /   \
    /     \
   /_______\
  D         C

Мы также знаем, что угол, который оставляет меньшая диагональ (AC) с меньшим основанием (CD), равен этому острому углу A.

Теперь рассмотрим треугольник ACD. Мы знаем, что угол A равен 60°, и угол C равен 90° (поскольку трапеция прямоугольная). Тогда, если угол A равен углу D, то угол C тоже равен углу D.

mathematicaCopy code
       A
      / \
     /60°\
    /     \
   /__D___\
  D       C

Из равенства углов в треугольнике ACD следует, что этот треугольник равнобедренный. Значит, AC = AD (см. линии на рисунке). Пусть точка M будет серединой отрезка CD, а точка N — серединой отрезка AB.

mathematicaCopy code
       A
      / \
     /60°\
  N /_____\ M
  D       C

Теперь давайте найдем отношение длины средней линии трапеции (MN) к длине ее меньшего основания (CD).

В прямоугольном треугольнике DMC, угол D равен 90°, и угол M равен 60° (половина угла A). Зная это, мы можем найти отношение длин сторон DM и DC с помощью тригонометрии. Для этого воспользуемся тригонометрическим соотношением для треугольника 30°-60°-90°:

$\text{Противолежащий к 30° углу} = \text{Гипотенуза} / 2$.

Таким образом, $DM = DC \times \frac{1}{2}$.

Итак, отношение длины средней линии к длине меньшего основания равно:

$\frac{MN}{CD} = \frac{DM}{DC} = \frac{1}{2}$.

Таким образом, отношение длины средней линии трапеции к длине ее меньшего основания равно 1:2.