Question

1. В равнобедренной трапеции с основаниями 10 и 26 см диагональ является биссектрисой острого угла. Найдите площадь трапеции. 2. В выпуклом четырёхугольнике ABCD противоположные углы А и С прямые. На диагональ АС опущены перпендикуляры ВМ и DN. Докажите, что СМ = NA. помогите с каким-нибудь из них

Answer 1

Решение:

1. В трапеции, если диагональ является биссектрисой острого угла, то меньшая основа равна боковой стороне.

Из условия задачи, трапеция является равнобедренной, а также меньшая и большая стороны равны 10см и 26см соответственно.

По теореме Пифагора находим высоту трапеции как один из катетов прямоугольного треугольника с гипотенузой 10см и меньшим катетом (26-10)/2 см.

$h=\sqrt{10^{2} - 8^{2}\\} = \sqrt{36} = 6$

По формуле площади трапеции: $S = \frac{1}{2}(a + b) h$

$S= \frac{1}{2} (10+26)*6 = 3*36=108$

Ответ: Площадь трапеции равна 108 сантиметров квадратных.

Answer 2

1. Пусть ABCD - равнобедренная трапеция с основаниями AB = 10 см и CD = 26 см, а диагональ AC является биссектрисой острого угла.

Чтобы найти площадь трапеции, воспользуемся следующими шагами:

a) Обозначим точку пересечения диагоналей трапеции как O. b) Так как диагональ является биссектрисой острого угла, то AO = OC. c) Из равенства треугольников AOB и COD (по двум сторонам и углу между ними) следует, что угол BAO равен углу CDO. d) Обозначим длину перпендикуляра, опущенного из точки B на диагональ AC, как h.

Теперь мы можем составить уравнения на основе свойств треугольников:

1. В треугольнике ABO: h^2 + (AO)^2 = (AB)^2 h^2 + AO^2 = 10^2

2. В треугольнике CDO: h^2 + (OC)^2 = (CD)^2 h^2 + OC^2 = 26^2

3. Так как AO = OC (так как диагональ является биссектрисой острого угла): AO = OC

Теперь объединим уравнения (1) и (2), а также учтем равенство (3):

10^2 + h^2 = 26^2 + h^2

Теперь выразим h^2:

h^2 - h^2 = 26^2 - 10^2 h^2 = 26^2 - 10^2 h^2 = 676 - 100 h^2 = 576

Теперь найдем значение h:

h = √576 h = 24

Теперь, чтобы найти площадь трапеции, воспользуемся формулой для площади трапеции:

Площадь = (сумма оснований) * (высота) / 2 Площадь = (10 + 26) * 24 / 2 Площадь = 36 * 24 Площадь = 864 квадратных сантиметра

Ответ: Площадь трапеции равна 864 квадратных сантиметра.

2. Докажем, что СМ = NA, где ABCD - выпуклый четырехугольник, противоположные углы А и С прямые, а на диагональ АС опущены перпендикуляры ВМ и DN.

Доказательство:

Посмотрим на следующие треугольники: ΔBMC и ΔAND.

В треугольнике BMC:

• Угол MBC является прямым углом (по условию).
• Угол CMB является прямым углом (так как противоположные углы А и С прямые).
• Следовательно, треугольник BMC - прямоугольный треугольник.

В треугольнике AND:

• Угол NDA является прямым углом (по условию).
• Угол DAN является прямым углом (так как противоположные углы А и С прямые).
• Следовательно, треугольник AND - прямоугольный треугольник.

Таким образом, у нас есть два прямоугольных треугольника BMC и AND, в которых:

• Угол MBC = Угол NDA (оба являются прямыми углами)
• Угол CMB = Угол DAN (оба являются прямыми углами)

Теперь мы знаем, что у этих треугольников равны по два угла, следовательно, они подобны. По свойству подобных треугольников, их стороны пропорциональны.

Так как СМ и NA - это высоты, опущенные из вершин треугольников BMC и AND соответственно, то отношение СМ к NA будет равно отношению сторон треугольников BMC к AND:

СМ/NA = BM/AN

Так как треугольники BMC и AND подобны, то BM/AN = MC/DN.

Итак, СМ/NA = MC/DN

Но треугольники BMC и CND - это прямоугольные треугольники, поэтому MC = CD и DN = AB.

Таким образом, СМ/NA = CD/AB

Но CD = AB (так как ABCD - параллелограмм с противоположными сторонами, равными между собой), следовательно, СМ = NA.

Таким образом, доказано, что СМ = NA.