Question

100 баллов! Основанием наклонной треугольной призмы есть правильный треугольник. Если боковое ребро призмы имеет длину 8см и наклонено к плоскости основания под углом 30°, а одна из вершин призмы проектируется в центр нижнего основания, то чему равен объем призмы? Решение обязательно с рисунком.

Answer 1

Основанием наклонной треугольной призмы есть правильный треугольник. Если боковое ребро призмы имеет длину 8 см и наклонено к плоскости основания под углом 30°, а одна из вершин призмы проектируется в центр нижнего основания, то чему равен объем призмы?

РЕШЕНИЕ:

• Рассмотрим тр. В1ВН (угол В1НВ = 90°):
sin30° = B1H/BB1 => B1H = BB1 • sin30° = 8 • 1/2 = 4 см
cos30° = BH/BB1 => BH = BB1 • cos30° = 8 • V3/2 = 4V3 см
• Рассмотрим тр. АВС ( равносторонний ):
BH = R = 4V3
AB = a = V3R = V3 • 4V3 = 4 • 3 = 12 см
AB = BC = AC = 12 см
• Обьём прямой призмы равен:
V = S осн. • h = S abc • B1H = ( a^2 • V3 / 4 ) • 4 = ( 12^2• V3 / 4 ) • 4 = 144V3


ОТВЕТ: 144V3

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте разберемся с геометрией данной треугольной призмы. Имеется правильный треугольник на основании призмы. Поскольку одна из вершин призмы проецируется в центр нижнего основания, это означает, что высота призмы проходит через центр нижнего основания и делит его на две равные части. Наклонное ребро призмы является биссектрисой угла между двумя сторонами правильного треугольника.

Давайте обозначим точку, в которой высота пересекает нижнее основание, как точку М (центр основания). Затем обозначим точку, в которой наклонное ребро пересекает нижнее основание, как точку N. Для удобства обозначим также вершины правильного треугольника на его основании как A, B и C. Зная, что боковое ребро равно 8 см, и оно наклонено к плоскости основания под углом 30°, мы можем найти расстояние от точки M до точки N, обозначим его как h.

Давайте теперь построим схематичный рисунок для лучшего понимания:

cssCopy code
       A
      / \
     /   \
    /     \
   /       \
  B---------C
  |         |
  |    M    |
  |    |    |
  |    |h   |
  |    |    |
  |    N----O (вершина призмы)
  ---------
     8 см

Так как треугольник ABC - правильный, то точка М - середина основания (AB, BC и AC равны).

Теперь, когда у нас есть схема, давайте рассмотрим треугольник MON, который образуется от проекции наклонного ребра на нижнее основание.

Поскольку треугольник ABC - правильный, угол AMN равен 30° (угол наклона наклонного ребра к плоскости основания).

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник MON с известной гипотенузой (8 см) и известным углом (30°). Мы можем найти длину одного из катетов этого треугольника (это будет высота h) с помощью тригонометрии.

h = 8 см * sin(30°) h = 8 см * 0.5 h = 4 см

Теперь у нас есть высота призмы (h = 4 см) и известная длина бокового ребра (a = 8 см).

Теперь можем найти объем треугольной призмы, используя формулу:

V = (площадь основания) * h / 3

Поскольку основание призмы - правильный треугольник, площадь его можно найти по формуле:

площадь основания = (сторона основания)^2 * √3 / 4

площадь основания = (8 см)^2 * √3 / 4 площадь основания = 64 см^2 * √3 / 4 площадь основания = 16 см^2 * √3

Теперь можем найти объем призмы:

V = (16 см^2 * √3) * 4 см / 3 V = 64 см^3 * √3 / 3

Окончательный ответ:

V ≈ 37.07 см³ (округлено до двух знаков после запятой)