Question

70 баллов. Объем призмы. Срочно! Основой наклонной треугольной призмы является правильный треугольник. Если боковое ребро призмы имеет длину 8 см и наклонено к плоскости основания под углом 30°, а одна из вершин призмы проектируется в центр нижнего основания, то объем призмы равняется? Пожалуйста помогите.

Answer 1

Ответ:

V = 152√3 cм³.

Объяснение:

Объем призмы: V = So·h, где So - площадь основания, а h - ее высота.

Проведем высоту А1О призмы, которая по условию проецируется в центр основания. В прямоугольном треугольнике АА1О катет А1О лежит против угла 30°, значит h = A1O = AA1/2 = 8/2 = 4 см.

В правильном треугольнике АВС высота АН = (√3/2)·a, где а - сторона треугольника. Тогда а = 2·АН/√3.

Заметим, что центр правильного треугольника (точка О) делит высоту (медиану, биссектрису) в отношении 2:1, считая от вершины (свойство медианы). Итак,  

АО = (2/3)·AH  =>  AH = 3·AO/2 см.

В прямоугольном треугольнике АА1О катет

АО = √(АА1²-А1О²) = √(64 - 16) = 4√3 см. (Пифагор)

Тогда АН = АО·(3/2) =  (4√3)·3/2 = 6√3 см.

а = (2·6√3)/√3 = 12 см.  

So = (√3/4)·a² =  (√3/4)·12²  = 38√3 см²

V = So·h = 38√3·4 = 152√3 cм³.

Answer 2

Для нахождения объема призмы сначала нужно определить площадь основания и высоту.

Дано, что основой призмы является правильный треугольник. Если боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 30°, то у нас есть треугольник, у которого один угол равен 30°, а два других угла равны 75°, так как сумма углов в треугольнике равна 180°.

Также дано, что боковое ребро призмы имеет длину 8 см. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром и проекцией вершины призмы на основание. Этот треугольник будет прямоугольным с углом в 30°.

Для нахождения высоты (катета прямоугольного треугольника), можно воспользоваться тригонометрической функцией тангенса. Тангенс угла в прямоугольном треугольнике определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему. В данном случае:

\[ \tan(30^\circ) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} \]

Подставим известные значения:

\[ \tan(30^\circ) = \frac{\text{высота}}{8 \, \text{см}} \]

Решив это уравнение, найдем высоту. После этого, чтобы найти площадь основания правильного треугольника, можем воспользоваться формулой:

\[ S_{\text{основания}} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \]

где \( a \) - длина стороны треугольника (равна стороне основания призмы).

Теперь, чтобы найти объем призмы, воспользуемся формулой:

\[ V = S_{\text{основания}} \times \text{высота} \]

Подставим найденные значения и решим уравнение.