Question

На основании AC равнобедренного треугольника ABC взята точка D, а на продолжении AC за вершину С - точка Е, причем AD=CE. Докажите, что BD+BE>AB+BC Помогите срочно

Answer 1

Что б понять решение нужно сделать чертеж.

Делаем дополнительное построение, на продолжении АВ за точку А откладываем отрезок АВ' равный АВ.

Получаем, что треугольник AB'D равен треугольнику ВСЕ.

Расмотрим теперь треугольник B'BD. В нем ВВ'=AB+AB'=AB+BC

В любом треугольнике сумма двух сторон больше третьей.

Т.е.  BD+B'D=BD+BE>BB'=AB+BC

Ч.Т.Д.

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся неравенством треугольника, которое гласит: "В треугольнике сумма длин любых двух сторон всегда больше длины третьей стороны".

Предположим, что точка D лежит на стороне AC так, что AD = CE.

Мы хотим доказать, что BD + BE > AB + BC.

Рассмотрим треугольник ABC:

cssCopy code
    A
   / \
  /   \
 /     \
/       \

B ———— C

Так как треугольник ABC — равнобедренный, то AB = BC.

Теперь давайте рассмотрим треугольник BDE:

cssCopy code
  B
 / \
/   \

/
D E

У нас есть условие, что AD = CE. Из этого следует, что треугольник BDE — равнобедренный, и следовательно, BD = BE.

Теперь сложим неравенства треугольников ABC и BDE:

1. BD + BE (треугольник BDE) > 2*BD (равенство треугольника BDE)
2. AB + BC (треугольник ABC) > 2*AB (равенство треугольника ABC)

Теперь давайте объединим эти неравенства:

BD + BE > 2*BD

AB + BC > 2*AB

Поскольку в треугольнике BD и AB положительные величины (стороны треугольника не могут иметь нулевую длину), то можно разделить обе части неравенств на 2 без изменения знака:

BD/2 + BE/2 > BD

AB/2 + BC/2 > AB

Теперь сложим оба неравенства:

BD/2 + BE/2 + AB/2 + BC/2 > BD + AB

BD + BE + AB + BC > BD + AB

BD + BE > AB + BC

Таким образом, мы доказали, что BD + BE > AB + BC.