Question

Упростите выражение cos²A+tg²Acos²A

Answer 1

Cos²a+tg²a*cos²a=

cos²a+(sin²a/cos²a)*cos²a=

cos²a+sin²a=1

Answer 2

Для упрощения данного выражения, воспользуемся тригонометрическими тождествами.

Тождество №1: 1 + tg²A = sec²A

Тождество №2: sec²A - 1 = tg²A

Заметим, что cos²A = 1 - sin²A. Теперь применим тождество №1:

tg²Acos²A = tg²A(1 - sin²A)

Теперь заменим tg²A с помощью тождества №2:

tg²Acos²A = (sec²A - 1)(1 - sin²A)

Раскроем скобки:

tg²Acos²A = sec²A - sec²A * sin²A - 1 + sin²A

Теперь заменим sec²A на 1 + tg²A с помощью тождества №1:

tg²Acos²A = 1 + tg²A - (1 + tg²A) * sin²A - 1 + sin²A

Обратите внимание, что (1 + tg²A) и -1 + 1 взаимно уничтожаются:

tg²Acos²A = tg²A + sin²A

Наконец, учтем тождество sin²A + cos²A = 1:

tg²Acos²A = tg²A + (1 - cos²A)

Таким образом, упрощенное выражение:

tg²Acos²A = tg²A + 1 - cos²A

Итак, упрощенное выражение cos²A + tg²Acos²A равно tg²A + 1 - cos²A.