Question

Док-ть,что если бессектриса треугольника,является высотой,то этот треугольник равнобедренный

Answer 1

Основная теорема, на которой базируется решение практически всех задач, звучит так: высота в равнобедренном треугольнике является биссектрисой и медианой.

Докажем , что биссектриса в равнобедренном треугольнике- это высота и медиана:

1) Биссектриса делит треугольник пополам .

2) Высота равнобедренного треугольника-это линия проведённая из вершины до противоположной стороны.

Вывод: Что биссектриса , что высота, что медиана равнобедренного треугольника являются равными и образуют 2 прямых угла при основании.

Answer 2

Для доказательства утверждения о том, что если бессектриса треугольника является высотой, то этот треугольник равнобедренный, давайте предположим, что у нас есть треугольник ABC, и AD является бессектрисой и высотой из вершины A (где D находится на BC).

Для удобства обозначим стороны треугольника: AB = c, BC = a и AC = b. Пусть также AD = h - высота из вершины A.

Для доказательства равнобедренности, мы должны показать, что две стороны треугольника равны. Посмотрим на треугольники ABD и ACD.

В треугольнике ABD:

1. AD - это общая сторона.
2. Угол BAD является углом между сторонами AD и AB (бессектрисой и стороной треугольника).
3. Угол ADB является углом между сторонами AD и BD (внутренний угол треугольника).

Точно так же в треугольнике ACD:

1. AD - это общая сторона.
2. Угол CAD является углом между сторонами AD и AC (высотой и стороной треугольника).
3. Угол ADC является углом между сторонами AD и CD (внутренний угол треугольника).

Теперь мы знаем, что углы BAD и CAD являются вертикальными углами, а значит они равны между собой: ∠BAD = ∠CAD (1).

Также, углы ADB и ADC - это соответственные углы при параллельных линиях AB и AC, следовательно, они также равны: ∠ADB = ∠ADC (2).

Теперь рассмотрим треугольник ABC в целом. Известно, что сумма углов треугольника равна 180 градусам. Таким образом,

∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°.

Заменим ∠ABC и ∠ACB на равные им углы ∠ADB и ∠ADC с помощью уравнений (1) и (2):

∠BAC + ∠ADB + ∠ADC = 180°.

Но углы ∠ADB и ∠ADC образуют прямую линию с углом ∠BAD, поэтому их сумма также равна 180 градусам:

∠ADB + ∠ADC + ∠BAD = 180°.

Таким образом, получаем:

∠BAC + ∠BAD = 180°.

Это означает, что углы ∠BAC и ∠BAD дополняют друг друга до 180 градусов. Из этого следует, что треугольник ABC является прямоугольным (угол ∠BAC прямой).

Теперь рассмотрим треугольник ABD. У нас уже есть угол ∠ADB равный углу ∠BAD (потому что они вертикальные). А так как ∠BAD - прямой угол, то ∠ADB тоже равен 90 градусам. Таким образом, треугольник ABD - это прямоугольный треугольник.

Теперь обратим внимание, что в прямоугольном треугольнике ABD, угол ∠ADB равен 90 градусам, а сторона AD - это общая сторона. Так как AD является биссектрисой, значит, угол ∠ABD тоже равен 90 градусам.

Таким образом, у треугольника ABC есть два угла по 90 градусов, что делает его равнобедренным. Следовательно, если бессектриса треугольника является высотой, то этот треугольник равнобедренный.