Question

В треугольнике АВС точка К принадлежит АВ и АК:КВ=5:3. Через вершину В проведена прямая, параллельная отрезку СК, пересекающая продолжение стороны АС в точке D. Найти BF:FC, если точка E – середина BD, а прямая AE пересекает сторону BC в точке F. Ответ дайте в виде целого числа или десятичной дроби.

Answer 1

В треугольнике АВС  треугольнике АВС

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами подобных треугольников.

1. Из условия известно, что АК:КВ = 5:3. Таким образом, можно предположить, что АК = 5x, а КВ = 3x, где x - некоторый коэффициент.

2. Так как СК || BD, то треугольники АСК и АBD подобны. Так как точка Е - середина BD, то АЕ - медиана треугольника ABD, и она делит сторону BD пополам. Значит, ВЕ = ED.

3. Поскольку треугольники АСК и АBD подобны, то их соответственные стороны пропорциональны:

   AK:AB = SK:BD.

   Подставим известные значения:

   5x : (5x + 3x) = SK : (2x).

   Упростим:

   5x : 8x = SK : 2x.

   Сократим на x:

   5 : 8 = SK : 2.

   Теперь можем найти SK:

   SK = 2 * (5 / 8) = 5 / 4.

4. Теперь у нас есть отрезок SK. Нам нужно найти отношение BF:FC. Заметим, что треугольники АСК и АFC также подобны (по теореме об углах между параллельными прямыми).

   Следовательно:

   AK:AC = SK:FC.

   Подставим известные значения:

   5x : (5x + 8x) = 5/4 : FC.

   Упростим:

   5x : 13x = 5/4 : FC.

   Теперь найдем FC:

   FC = (13x * 5) / 4.

   FC = (65/4) * x.

5. Осталось найти отношение BF:FC. Так как точка Е - середина BD, то BF = 1/2 * BD. Мы уже нашли SK в шаге 3.

   BD = 2 * SK.

   BD = 2 * (5/4) = 5/2.

   BF = 1/2 * (5/2) = 5/4.

6. Теперь можем выразить BF:FC:

   BF:FC = (5/4) : (65/4).

   Инвертируем делитель и умножим:

   BF:FC = (5/4) * (4/65) = 5/65 = 1/13.

Ответ: BF:FC = 1/13.