Question

На рисунке АВСD параллелограмм. На его сторонах отмечены точки Р, К, М ,N так ,что КС=АN, ВР=МD. Докажите, что четырехугольник РКМN-параллелограмм.

Answer 1

А есть чертёж? Мне так понятнее будет

Answer 2

Для доказательства того, что четырехугольник РКМN является параллелограммом, мы должны показать, что его противоположные стороны параллельны.

Из условия задачи у нас есть параллелограмм ABCD, поэтому стороны AB и CD параллельны (обозначим это как (1)), а также стороны AD и BC тоже параллельны (обозначим это как (2)).

Для начала, обратим внимание на то, что из условия КС=АN следует, что треугольник ANK равнобедренный, так как у него две стороны равны (КS и AN). Таким образом, угол АКН равен углу АНК (обозначим это как (3)).

Теперь рассмотрим треугольники AKB и CDR. У нас есть равенства сторон ВR=MD и углы BAK и CDR, так как это противоположные вершины параллелограмма ABCD. Из этого следует, что эти треугольники равны по стороне-углу-стороне (ПСУ). Таким образом, угол AKB равен углу CDR (обозначим это как (4)).

Теперь сравним уголы АКН и CDR. Поскольку углы BAK и CDR равны ((4)), и углы АКН и АНК равнобедренного треугольника равны ((3)), то:

Угол АКН = Угол АНК = Угол CDR.

Теперь вернем внимание к параллельности сторон AB и CD ((1)) и сторон AD и BC ((2)). В результате предыдущих рассуждений мы показали, что угол АКН равен углу CDR. Из этого следует, что прямая, проходящая через сторону КМ четырехугольника РКМN, параллельна стороне MN параллелограмма ABCD. То же самое можно сказать и о прямой, проходящей через сторону РN четырехугольника РКМN – она параллельна стороне РК параллелограмма ABCD.

Таким образом, у нас есть параллельные противоположные стороны РК и МN в четырехугольнике РКМN, что делает его параллелограммом.

Таким образом, мы доказали, что четырехугольник РКМN является параллелограммом.