Question

Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно а. Найдите расстояние между прямыми AC и D1D

Answer 1

Каждая грань куба - это квадрат.

АС - диагональ квадрата, она равна стороне, умноженной на √2

АС=а√2

D1D - это одно из рёбер куба

D1D=а

D1D перпендикулярна плоскости ABCD, в которой лежит AC, следовательно расстояние будет высота DH треугольника ADC. Стороны треугольника AD = DC = a, AC = a√2. Треугольник равнобедренный, так как высотаи сторона равны, следовательно высота и медиана совпадают. АH = HС = √2/2. По теореме Пифагора из треугольника ADH ищем высоту DH:

√(а²-2/4а)=(√2)/2а

Answer 2

Для решения этой задачи нам нужно найти координаты точек пересечения прямых AC и D1D и затем найти расстояние между ними.

Заметим, что прямые AC и D1D параллельны друг другу, так как они лежат в параллельных плоскостях, проходящих через грани куба. Это значит, что расстояние между ними будет равно расстоянию между любой точкой на прямой AC и ближайшей точкой на прямой D1D.

Пусть точка A имеет координаты (0, 0, 0). Тогда точки C и D1 имеют координаты (a, 0, 0) и (0, a, a), соответственно. Прямая AC задается уравнением:

x/a + y/0 + z/0 = 1

что эквивалентно x/a = 1 или x = a. Точка пересечения прямой AC и плоскости D1D имеет координаты (a, a, a). Таким образом, расстояние между прямыми AC и D1D равно расстоянию между точками C и (a, a, a):

d = √[(a - a)² + (0 - a)² + (0 - a)²] = √(2a²)

Ответ: расстояние между прямыми AC и D1D равно √(2a²).