Question

Відрізок BD і АС перетинаються в точці О, причому ВО=ОС, АО=ОD.Доведіть, що АВ=DC.

Answer 1

AC=AO+OC
BD=BO+OD
Тогда AC=BD

Answer 2

Для того, щоб довести, що АВ=DC, ми можемо скористатися властивостями перетинання прямих та рівністю сторін трикутників. Для зручності, назвемо точку перетину відрізків BD і АС як О.

Маємо дано:

1. ВО = ОС (пряма ВО перетинає пряму АС в точці О)
2. АО = ОD (пряма АО перетинає пряму BD в точці О)

Доведемо, що АВ=DC.

Розглянемо трикутники ΔАОВ і ΔОDC.

У трикутнику ΔАОВ:

1. ВО = ОС (дано)
2. АО = ОD (дано)

За властивістю перетинання прямих, якщо в прямокутному трикутнику катети рівні, то й гіпотенузи також рівні. Таким чином, трикутник ΔАОВ буде прямокутним та має рівні катети ВО і ОС.

Тепер розглянемо трикутник ΔОDC:

1. ВО = ОС (з властивості трикутника ΔАОВ)
2. АО = ОD (дано)

Також за властивістю перетинання прямих, якщо в прямокутному трикутнику катети рівні, то й гіпотенузи також рівні. Таким чином, трикутник ΔОDC буде прямокутним та має рівні катети АО і OD.

Тепер, з попередніх спостережень, ми маємо: ВО = ОС (з трикутника ΔАОВ) і ОС = ВО (з даного) АО = ОD (з трикутника ΔАОВ) і ОD = АО (з даного)

Отже, АВ = АО + ВО = ОD + ОС = DC.

Ми довели, що АВ = DC, що і було потрібно довести.