Question

Окружность, вписанная в треугольник АВС, касаясь его сторон АВ и АС соответственно в точках М и N. Докажите, что BN> M N

Answer 1

                 Решение :  /////////////////////////

Answer 2

Для доказательства того, что BN > MN, воспользуемся тем, что вписанные углы, образуемые хордами окружности, равны половине центрального угла, соответствующего тому же дуге.

Пусть O - центр вписанной окружности, а R - радиус этой окружности. Поскольку окружность касается сторон AB и AC треугольника ABC, линии MO и NO являются высотами треугольников AMB и ANC, соответственно. Кроме того, линия BO - это медиана треугольника AMB, и линия CO - медиана треугольника ANC.

Обозначим точку пересечения медиан треугольника AMB за P, а точку пересечения медиан треугольника ANC за Q.

Таким образом, треугольники AMB и ANC разделены на шесть малых треугольников: MPB, MPO, NQC, NQO, BPQ и CPQ.

Мы знаем, что медиана треугольника делит ее площадь пополам, поэтому площади треугольников MPB и MPO равны, а также площади треугольников NQC и NQO равны.

Теперь сравним треугольники MPB и NQC. Оба они имеют одинаковую высоту, которая равна радиусу окружности R. Таким образом, отношение их площадей равно отношению длин сторон BP и CQ:

Пусть BP = a и CQ = b.

Тогда отношение площадей:

S(MPB) / S(NQC) = a / b.

Теперь рассмотрим треугольники MPO и NQO. Они также имеют одинаковую высоту, равную радиусу R. Таким образом, отношение их площадей равно отношению длин сторон OP и OQ:

S(MPO) / S(NQO) = OP / OQ.

Так как P и Q - точки пересечения медиан, то OP = 2/3 BO и OQ = 2/3 CO.

Теперь обратим внимание на треугольник BPQ. Его площадь равна:

S(BPQ) = 1/2 * BP * PQ.

Аналогично, для треугольника CQP:

S(CQP) = 1/2 * CQ * PQ.

Сравним их площади:

S(BPQ) / S(CQP) = (1/2 * a * PQ) / (1/2 * b * PQ) = a / b.

Таким образом, мы получаем, что:

S(MPB) / S(NQC) = S(BPQ) / S(CQP).

Отменяем одинаковые множители:

S(MPB) / S(NQC) = a / b = S(BPQ) / S(CQP).

Из этого следует, что S(MPB) = S(BPQ) и S(NQC) = S(CQP).

Теперь рассмотрим треугольники AMB и BPN. Они имеют общую высоту (MN), и мы только что показали, что S(MPB) = S(BPQ).

Таким образом, поскольку площадь треугольника AMB равна площади треугольника BPN, а высота у треугольника BPN (BN) больше высоты у треугольника AMB (MN), то основание BPN (BP) должно быть больше основания AMB (M). То есть:

BN > MN.

Таким образом, доказано, что BN > MN.