Question

в равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC, медианы AK и CM пересекаются в точке O. Докажите, что угол KAC=углу MCA

Answer 1

В равнобедренном треугольнике ABC рассмотрим два треугольника KAC и MCA. Треугольник KAC равен треугольнику MCA по двум сторонам и углу между ними, а именно:

1). Сторона AC - общая;

2). MA=KC, так как:

AB=BC, ведь треугольник ABC - равнобедренный, а MA=1/2*AB (т. M - середина AB, т.к. MC - медиана), KC=1/2*BC (т. K - середина BC, т.к. KA - медиана), значит MA=KC;

3). ∠BAC=∠BCA, т.к. треугольник ABC - равнобедренный.

Из равенства треугольников KAC и MCA следует равенство соответственных элементов, а значит ∠KAC=∠MCA, что и требовалось доказать.

Answer 2

Для доказательства равенства углов KAC и MCA в равнобедренном треугольнике ABC сначала рассмотрим свойство медиан треугольника.

Свойство медианы треугольника: Медиана треугольника делит противоположную сторону пополам и проходит через середину этой стороны.

Теперь, обратим внимание, что если медиана AK проходит через середину стороны BC (предположим, что точка M - середина стороны BC), то:

1. Медиана AK делит сторону BC пополам (поскольку A - вершина треугольника, BC - его основание).
2. Точка O - точка пересечения медиан AK и CM.

Из свойства медианы, если медиана AK делит сторону BC пополам, то BM = MC.

Теперь рассмотрим треугольник AMC. У нас есть:

1. BM = MC (по свойству медианы AK).
2. AM = AM (общая сторона).
3. Углы ABC и ACB равны, так как треугольник ABC равнобедренный.

Из этих двух равенств следует, что треугольники BMC и CMA равны по стороне-стороне-стороне (SAS).

Таким образом, углы KAC и MCA будут равны, так как соответствующие углы равных треугольников равны.