Question

Биссектрисы углов A и B треугольника ABC пересекаются в точке M. Найдите ∠ AMB, если ∠ A+ ∠ B = 80 0 .

Answer 1

1)  AM - биссектриса  ⇒  ∠CAM = ∠BAM = 1/2 ∠A
     BM - биссектриса  ⇒  ∠CBM = ∠ABM = 1/2 ∠B

ΔABM : ∠AMB = 161°  ⇒ 
∠BAM + ∠ABM = 180° - ∠AMB = 180° - 161° = 19°
∠BAM + ∠ABM = 19° ⇒
1/2∠A + 1/2∠B = 19°  ⇒   ∠A + ∠B = 2 * 19° = 38°

Ответ: ∠A + ∠B = 38°

2)  ΔABC - равнобедренный  ⇒  ∠BAC = ∠C
    AD - биссектриса  ⇒   
  ∠BAD = ∠CAD = 1/2 ∠BAC = 1/2 ∠C
  ΔADC :
  ∠ADC + ∠DAC + ∠C = 180°
  123° + 1/2∠C + ∠C = 180°
   3/2∠C = 57°
   ∠C = 57° * 2/3 = 38°

Ответ:  ∠С = 38°

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте воспользуемся следующими свойствами:

1. Сумма углов треугольника равна 180°. То есть, ∠A + ∠B + ∠C = 180°.

2. Биссектриса угла треугольника делит этот угол на два равных угла.

По условию задачи, у нас дано ∠A + ∠B = 800. Из свойства (1) мы можем выразить ∠C:

∠C = 180° - (∠A + ∠B) ∠C = 180° - 800 ∠C = 100°

Теперь давайте обратим внимание на треугольник AMB. Поскольку AM и BM - биссектрисы углов ∠A и ∠B соответственно, то угол ∠AMB делится этими биссектрисами на два равных угла. Таким образом, ∠AMB = (∠A + ∠B) / 2.

Подставим значение ∠A + ∠B, которое равно 800:

∠AMB = 800 / 2 ∠AMB = 400

Ответ: ∠AMB = 400°.