Question

Диагональ правильной четырехугольной призмы равна 8 см, а диагональ её боковой грани 6 см. Найдите высоту призмы.(если можно, то с рисунком пожалуйста)

Answer 1

D₁C₁⊥ грани ВСC₁В₁  значит перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой грани, в том числе прямой ВC₁

Значит, Δ ВC₁D₁ - прямоугольный.

По теореме Пифагора:

(C₁D₁)²= (ВD₁)² -(ВC₁)²=8²-6²=28

С₁D₁=√28

Призма правильная, в основании квадрат,

значит

АВ=ВС=СD=AD=А₁В₁=В₁С₁=С₁D₁=A₁D₁=√28

Боковая грань - прямоугольник, по теореме Пифагора

(СС₁)²=(ВC₁)²-(ВС)²=6²- (√28)²= 36 - 28 = 8

H=CС₁=√8=2√2

О т в е т. √8=2√2

Answer 2

Для нахождения высоты призмы, нам понадобятся знания о треугольниках в этой призме. Возьмем сечение призмы плоскостью, параллельной одной из её оснований. Это сечение будет прямоугольным треугольником, и мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для его решения.

Предположим, что ABCD - это сечение призмы, где AB и CD - это основания призмы (четырехугольник), а BE - это диагональ боковой грани (штриховая линия на рисунке).

mathematicaCopy code
   A------B
   |\    /|
   | \ E / |
   |  \ /  |
   |   X   |
   |  / \  |
   | / D \ |
   |/    \|
   C------D

Известно: Диагональ AB, AC, BC = 8 см (половина длины призмы). Диагональ BE = 6 см (половина диагонали боковой грани).

По теореме Пифагора для треугольника ABC: AC² + BC² = AB²

Используем формулу для диагоналей прямоугольных четырехугольников: AB² = AD² + BD²

Теперь у нас есть два уравнения:

1. AC² + BC² = AB²
2. AB² = AD² + BD²

Давайте найдем высоту призмы (BD), используя эти уравнения:

1. AC² + BC² = AB² (8 см)² + (8 см)² = AB² 64 см² + 64 см² = AB² 128 см² = AB²

2. AB² = AD² + BD² 128 см² = (8 см)² + BD² 128 см² = 64 см² + BD² BD² = 128 см² - 64 см² BD² = 64 см²

   BD = √(64 см²) BD = 8 см

Таким образом, высота призмы (BD) равна 8 см.

На рисунке выше показано сечение призмы и обозначены известные стороны: AC, BC, и BE. По решению выше, высота призмы (BD) также равна 8 см.