Question

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА 11 КЛАСС В основании конуса проведена хорда, равная радиусу основания и удаленная от центра основания конуса на 12 см. Через вершину конуса и эту хорду проведена плоскость, образующая с плоскостью основания угол 60 градусов. Найти объём конуса. Нужно полное решение и чертёж!

Answer 1

.............................................

Answer 2

Хорошо, давайте решим эту задачу. Постараюсь предоставить вам подробное решение и чертеж.

Пусть:

• Радиус основания конуса: $r$ (в см)
• Высота конуса: $h$ (в см)

Сначала найдем значение радиуса $r$. По условию, хорда равна радиусу основания, а также удалена от центра на 12 см. Обозначим расстояние от центра основания конуса до хорды как $d$. Тогда, по теореме Пифагора:

$r^2 = \left(\frac{d}{2}\right)^2 + (r - 12)^2$

Раскроем скобки:

$r^2 = \frac{d^2}{4} + r^2 - 24r + 144$

Теперь перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения:

$\frac{d^2}{4} - 24r + 144 = 0$

Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от дроби:

$d^2 - 96r + 576 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $d$. Теперь используем косинус угла между плоскостью основания и плоскостью, проходящей через вершину и хорду, чтобы найти $d$:

$\cos 60^\circ = \frac{d}{r}$

$\frac{1}{2} = \frac{d}{r}$

$d = \frac{r}{2}$

Теперь подставим $d$ обратно в квадратное уравнение:

$\left(\frac{r}{2}\right)^2 - 96r + 576 = 0$

$\frac{r^2}{4} - 96r + 576 = 0$

Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от дроби:

$r^2 - 384r + 2304 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение. Можем заметить, что оно имеет два корня:

$r_1 = \frac{384 + \sqrt{384^2 - 4 \cdot 2304}}{2} \approx 380.92 \, \text{см}$ $r_2 = \frac{384 - \sqrt{384^2 - 4 \cdot 2304}}{2} \approx 3.08 \, \text{см}$

Поскольку радиус не может быть отрицательным, то $r_2$ нам не подходит. Таким образом, $r = r_1 \approx 380.92$ см.

Теперь найдем высоту конуса $h$ с помощью теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного радиусом $r$, высотой $h$ и образующей конуса $l$:

$h^2 = l^2 - r^2$

Угол между образующей конуса и основанием равен 60 градусам, поэтому $\cos 60^\circ = \frac{r}{l}$, а также $\sin 60^\circ = \frac{h}{l}$.

$\frac{r}{l} = \frac{1}{2} \implies l = 2r$

$\frac{h}{l} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь, подставив $l = 2r$ в уравнение для высоты $h$:

$h^2 = (2r)^2 - r^2$

$h^2 = 3r^2$