Question

Докажите, что если у равнобедренного треугольника угол при вершине противолежащей основанию равен 60 градусов то такой треугольник равносторонний

Answer 1

Решение:

Пусть угол А равен 60°, тогда

сумма двух оставшихся углов равна 180° - 60°=120°

Поскольку в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то 120°/2=60° - это угол при основании. Значит в данном треугольнике все углы равны 60°, следовательно такой треугольник равносторонний.

Answer 2

Для того чтобы доказать, что равнобедренный треугольник с углом при вершине, противолежащей основанию, равным 60 градусов, является равносторонним, нам понадобится использовать геометрические свойства треугольников.

Пусть у нас есть равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC, и угол при вершине A равен 60 градусов. Чтобы доказать, что треугольник ABC является равносторонним, нам нужно показать, что все его стороны равны.

Для начала, обратим внимание на то, что в равнобедренном треугольнике два угла при основании равны между собой, так как боковые стороны равны. Таким образом, угол BAC (равный 60 градусов) также является углом при основании и углом при вершине.

Теперь рассмотрим треугольник ABC и проведем биссектрису угла BAC (угол при вершине). Поскольку у нас равнобедренный треугольник, биссектриса также является медианой и высотой.

Так как угол BAC равен 60 градусов, его биссектриса (показанная на рисунке точкой D) разделит его на два равных угла, каждый равный 30 градусов.

cssCopy code
        B
       / \
      /   \
     /     \
  A /___D___\ C

Поскольку треугольник ABC равнобедренный, AB = AC. Из биссектрисы можно также заключить, что угол DAB и угол DAC равны, каждый равный 30 градусов.

Теперь обратим внимание на треугольник ADB. У нас есть два угла, равных 30 градусов, и угол B равен 60 градусов (так как это равнобедренный треугольник). В сумме они дают 120 градусов, что означает, что третий угол также равен 60 градусов. Таким образом, треугольник ADB является равносторонним.

Теперь, так как стороны треугольника ADB равны между собой, то AB = AD.

Так как в исходном равнобедренном треугольнике ABC мы имеем AB = AC и AB = AD, то можно заключить, что AC = AD.

Теперь, рассмотрим треугольник ADC. Мы знаем, что AC = AD, и угол DAC равен 30 градусов. Так как у нас две равные стороны и равный угол между ними, то треугольник ADC также является равносторонним.

Таким образом, мы доказали, что все три стороны треугольника ABC равны друг другу, и поэтому он является равносторонним.