Question

Докажите, что прямые AB, BC и CA касаются одной окружности с центром вне треугольника ABC, но внутри угла BAC, то отрезки касательных от вершин A, B и C до точек касания соответственно равны p, p-c и p-b (p - полупериметр, a=BC, b=AC, c=AB).

Answer 1

смотри решение прикреплено

Answer 2

Для доказательства данного утверждения, воспользуемся теоремой о радикальных осях (также известной как теорема о касательных).

Пусть центр окружности, касающейся сторон AB, BC и CA, находится в точке O.

1. Рассмотрим точку касания окружности с прямой AB. Пусть эта точка называется D, а точка касания с прямой BC - E. Тогда, по теореме о касательных:

AD = BD = p (так как AD и BD - это касательные из вершин A и B к окружности с центром в O).

2. Теперь рассмотрим точку касания окружности с прямой CA. Пусть эта точка называется F. Тогда, также по теореме о касательных:

AF = CF = p (так как AF и CF - это касательные из вершин A и C к окружности с центром в O).

3. Далее, обратим внимание на треугольник ABC. Он имеет стороны a, b и c.

4. Пусть H - точка пересечения медиан треугольника ABC (центр масс треугольника).

Теперь применим теорему Стевена (также известную как теорема о медианах):

H - центр масс треугольника ABC, и OH = 2/3 * HG, где G - точка пересечения прямых, содержащих стороны треугольника ABC. Таким образом, HG = 3/2 * OH.

5. Отрезок OH является радиусом окружности, описанной вокруг треугольника ABC (центр этой окружности находится вне треугольника). Из этого следует, что OH = R, где R - радиус описанной окружности.

Таким образом, HG = 3/2 * R.

6. Согласно теореме о касательных, отрезок AD равен R - p (где R - радиус окружности, AD - касательная из вершины A). То есть, AD = R - p.

7. Рассмотрим треугольник AHC и применим теорему Пифагора:

AC^2 = AH^2 + HC^2 b^2 = (2/3 * HG)^2 + (2/3 * CG)^2 b^2 = (2/3 * (3/2 * R))^2 + (2/3 * (c - p))^2 b^2 = (2R)^2 + (2/3 * (c - p))^2 b^2 = 4R^2 + 4/9 * (c^2 - 2cp + p^2)

8. Рассмотрим треугольник BHC и также применим теорему Пифагора:

BC^2 = BH^2 + HC^2 a^2 = (1/3 * HG)^2 + (2/3 * CG)^2 a^2 = (1/3 * (3/2 * R))^2 + (2/3 * (b - p))^2 a^2 = (1/2 * R)^2 + (2/3 * (b - p))^2 a^2 = 1/4 * R^2 + 4/9 * (b^2 - 2bp + p^2)

9. Теперь сравним выражения для b^2 и a^2:

b^2 = 4R^2 + 4/9 * (c^2 - 2cp + p^2) a^2 = 1/4 * R^2 + 4/9 * (b^2 - 2bp + p^2)

10. Подставим a^2 и b^2 из данных уравнений в выражение для c^2:

c^2 = a^2 + b^2 c^2 = 1/4 * R^2 + 4/9 * (b^2 - 2bp + p^2) + 4R^2 + 4/9 * (c^2 - 2cp + p^2)

11. Выразим c^2 из этого уравнения:

1 = 1/4 + 4/9 + 4/9 1 = 17/36

12. Это противоречит утверждению, что треугольник ABC существует, так как сумма квадратов его сторон должна быть положительной. Следовательно, допущение о том, что прямые AB, BC и CA касаются одной окружности с центром вне треугольника ABC, но внутри угла BAC, является неверным.

Таким образом, утверждение о равенствах отрезков касательных от вершин A, B и C до точек касания соответственно равны p, p-c и p-b не верно.