Question

Окружность касается стороны AB треугольника ABC в точке M и касается продолжения двух других его сторон. Докажите, что сумма длин отрезков BC и BM равна половине периметра треугольника ABC

Answer 1

                                   Решение : /////////////////////////

Answer 2

Для доказательства этого утверждения воспользуемся принципом равенства касательных. Пусть окружность касается стороны AB треугольника ABC в точке M и касается продолжения двух других его сторон в точках P и Q, как показано на рисунке ниже:

cssCopy code
        C
       / \
      /   \
     /     \
  Q /_______\ P
   /         \
  /           \
 /_____________\
A       M       B

Обозначим длины отрезков: AB = c, BC = a, CA = b, BM = x, BP = y, BQ = z.

Так как касательные, проведенные из одной точки к окружности, равны, то имеем:

x = y, (1) x = z. (2)

Заметим, что сумма длин отрезков BC и BM равна a + x. Нам нужно доказать, что a + x равно половине периметра треугольника ABC, то есть a + x = (a + b + c)/2.

Для этого рассмотрим отрезок AM. Так как окружность касается стороны AB в точке M, то AM является средней линией в треугольнике ABC, а значит, его длина равна половине суммы длин сторон BC и CA:

AM = (a + b)/2.

Теперь, так как AM является средней линией в треугольнике ABC, применяем теорему о средней линии треугольника и получаем, что длина BM равна половине длины стороны AC:

BM = c/2.

Из уравнения (1) следует, что длина BP равна половине длины стороны AC:

BP = c/2.

Таким образом, длины BM и BP равны, и мы можем записать:

BM = BP = c/2.

Теперь вернемся к отрезку BC. Из уравнений (2) и (1) следует, что:

BC = BM + MC = BM + MP + PC = 2BM + PC = c + PC.

Теперь заметим, что PC равно отрезку BQ, так как это оба касательные, проведенные из точки B к окружности, и равенство PC = BQ следует из принципа равенства касательных.

Итак, получаем:

BC = c + BQ.

Теперь обратим внимание, что длина отрезка BQ равна разнице длин сторон AC и AB:

BQ = AC - AB = b - c.

Теперь подставим это значение в выражение для BC:

BC = c + (b - c) = b.

Таким образом, длина отрезка BC равна стороне b треугольника ABC.

Теперь вернемся к тому, что нам нужно было доказать:

a + x = a + b + c / 2.

Мы уже выяснили, что x = BM = c / 2 и BC = b. Подставляем это в уравнение:

a + c / 2 = a + b + c / 2.

Теперь вычитаем a и c / 2 из обеих частей уравнения:

0 = b.

Таким образом, мы получили, что b = 0, что является противоречием.

Таким образом, предположение о том, что a + x равно половине периметра треугольника ABC, неверно.

Значит, утверждение неверно, и сумма длин отрезков BC и BM не равна половине периметра треугольника ABC.