Question

в треугольниках abc и a1b1c1 длина стороны ab=4 равна длине стороны a1c1.Длина стороны ac равна длине стороны a1b1 величина угла bac равна 60° и величина угла b1a1c1 равна 120°.Известно что отношение длины b1c1 к длине bc равно n(целое число).Найти отношение длины ab к длине bc.Прикаких значениях n задача имеет хотя бы одно решение.

Answer 1

Интересная задача
Тут дело такое обозначим стороны ас=а1в1=х
Тогда по теореме косинусов получим
ВС2=х2-4х+16
В1С12=х2+4х+16
Отношение равно n
Отсюда следует 1-n2=0 или n=1
n=-1 отбрасывается тк под корнем
Итого n=1 эти стороны равны соответственно и треугольники тоже что противоречит условию
Решений нет

Answer 2

Для решения данной задачи оценим отношение длины b1c1 к длине bc и найдем условие, при котором оно имеет хотя бы одно решение.

Обозначим отношение длины b1c1 к длине bc как n: b1c1/bc = n

Дано:

1. Длина стороны ab = 4
2. Длина стороны ac равна длине стороны a1b1
3. Величина угла bac = 60°
4. Величина угла b1a1c1 = 120°

Первое наблюдение: Длина стороны ab равна длине стороны a1b1, поскольку они соответствуют одному углу, а стороны, противоположные равным углам в равных треугольниках, равны.

Далее, сосредоточимся на треугольнике abc. Из условия угла bac = 60°, угол bca (третий угол треугольника) равен 180° - 60° - 60° = 60°. Теперь у нас есть два равных угла и сторона ab = 4, поэтому треугольник abc - равносторонний треугольник. Значит, длина стороны ac также равна 4.

Далее, рассмотрим треугольник a1b1c1. У нас есть угол b1a1c1 = 120°. Поскольку треугольник a1b1c1 не равносторонний (у нас есть два угла разной величины), то он является разносторонним треугольником.

Теперь, по условию, длина стороны ac (это сторона a1b1) равна длине стороны ab (это сторона bc), т.е., ac = 4.

Заметим, что треугольники abc и a1b1c1 оба имеют сторону ac = 4 и общий угол b, прилегающий к этой стороне. Как раз это соответствует условиям подобия треугольников. Значит, треугольники abc и a1b1c1 подобны друг другу.

Теперь, в подобных треугольниках, отношение длин соответствующих сторон равно отношению длин их любой стороны. То есть, мы можем записать: ab/b1c1 = ac/bc = 4/n

Теперь, с учетом того, что длина стороны ac = 4, можем выразить отношение ab к bc: ab/bc = 4/n

Таким образом, отношение длины ab к длине bc равно 4/n. Задача имеет хотя бы одно решение для любого натурального числа n, кроме случая, когда n = 0, так как деление на ноль недопустимо.