Question

Периметр параллелограмма равен 360, а его острый угол равен 60°. Найдите стороны параллелограмма, Если известно, что его меньшая диагональ делит его углы в отношении 3:1

Answer 1

Так как в параллелограмме противоположные углы равны, а сумма внутренних углов равна 360°, то вторая пара углов:

                (360 - 2·60) : 2 = 120°

Так как меньшая диагональ делит бо'льшие углы параллелограмма, то:

                х + 3х = 120

                   х = 30°           3х = 90°

Таким образом, параллелограмм состоит из двух прямоугольных треугольников с общим катетом, в качестве меньшей диагонали.

Так как меньший угол треугольника 30°, то катет, лежащий напротив этого угла равен половине гипотенузы. Обозначим их:  х и 2х, соответственно.  

Тогда, учитывая, что периметр параллелограмма равен 360 (ед.):

      2х + 4х = 360

        х = 60 (ед.)     2х = 120 (ед.)

Ответ: 60 ед.; 60 ед.; 120 ед.; 120 ед.

Answer 2

Давайте обозначим стороны параллелограмма следующим образом:

Пусть a и b - стороны параллелограмма, где a - меньшая сторона, b - большая сторона. Пусть d - длина меньшей диагонали.

Также, у нас есть следующие данные:

Периметр параллелограмма равен 360: 2a + 2b = 360 => a + b = 180. (1)

Острый угол параллелограмма равен 60°, что означает, что противоположные углы параллелограмма тоже равны 60°.

Меньшая диагональ делит углы параллелограмма в отношении 3:1, что означает, что меньший из двух углов делит противоположную меньшую сторону в отношении 3:1.

Пусть x - меньший из двух углов, тогда противоположный ему угол будет 3x.

Заметим, что треугольник, образованный меньшей стороной параллелограмма, меньшей диагональю и противоположным углом, является равносторонним треугольником, так как они имеют углы 60°, 60° и 60°.

Теперь, используем закон синусов для этого треугольника:

sin(x) = (a/2) / d, где a/2 - половина меньшей стороны параллелограмма.

sin(3x) = (b/2) / d, где b/2 - половина большей стороны параллелограмма.

Мы знаем, что sin(60°) = √3 / 2, поэтому:

sin(x) = √3 / 2 => a / (2d) = √3 / 2 => a = √3 * d. (2)

sin(3x) = √3 / 2 => b / (2d) = √3 / 2 => b = √3 * d. (3)

Теперь у нас есть система уравнений:

a + b = 180, (1) a = √3 * d, (2) b = √3 * d. (3)

Подставим уравнения (2) и (3) в уравнение (1):

√3 * d + √3 * d = 180,

2√3 * d = 180,

d = 180 / (2√3) = 30√3.

Теперь найдем стороны a и b:

a = √3 * d = √3 * 30√3 = 30 * 3 = 90,

b = √3 * d = √3 * 30√3 = 30 * 3 = 90.

Таким образом, стороны параллелограмма равны a = 90 и b = 90.