Question

Докажите свойство катета прямоугольного треугольника лежащего против угла в 30 Помоги пазязя

Answer 1

∆ ABC,

∠C=90º,

∠A=30º.

(изображение 1)

Доказать:

BC=1/2AB

Доказательство:

Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º, то

∠B=90º-∠A=90º-30º=60º.

Проведем из вершины прямого угла медиану CF.

(изображение номер 2,дорисовать к существующему)

Так как медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы, то

СF=1/2AB

то есть, CF=AF=BF.

Так как BF=CF, то  треугольник BFC — равнобедренный с основанием BC.Следовательно, у него углы при основании равны:

∠B=∠BCF=60º.

Так как сумма углов треугольника равна 180º, то в треугольнике BFC

∠BFC =180º -(∠B+∠BCF)=60º.

Поскольку все углы треугольника BFC равны, то этот треугольник — равносторонний.

Значит, все его стороны равны и

BC=CF=BF=1/2AB

Что и требовалось доказать.

Answer 2

В равностороннем треугольнике все углы 60, все биссектрисы являются также медианами и высотами. Биссектриса отсекает треугольник с углом 30, прямоугольный (так как биссектриса является высотой), а катет против угла 30 равен половине стороны (так как биссектриса является медианой), а значит и половине гипотенузы.

Answer 3

Для того чтобы доказать свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30°, рассмотрим следующую ситуацию:

Пусть у нас есть прямоугольный треугольник ABC, где угол B равен 90°, а угол A равен 30°. Предположим, что катет, лежащий против угла A, обозначен как BC, а катет, лежащий против угла B, обозначен как AC.

Теперь давайте построим высоту CD, опущенную из вершины C на гипотенузу AB. Поскольку треугольник ABC прямоугольный, высота CD является высотой, проведенной из прямого угла B, и разделяет гипотенузу AB на две части в пропорции 1:√3 (потому что угол A равен 30°, и угол B равен 90°).

Теперь обратим внимание на треугольник CBD. Угол CDB равен 90° (поскольку это прямоугольный треугольник), угол BDC равен 30° (поскольку это также угол A в треугольнике ABC), и угол CBD равен 60° (поскольку сумма углов в треугольнике равна 180°).

Теперь мы знаем, что в прямоугольном треугольнике со сторонами a, b и гипотенузой c, длины сторон связаны следующим образом:

a^2 + b^2 = c^2

Применяя это к треугольнику CBD, где a = BC, b = CD и c = BD, получим:

BC^2 + CD^2 = BD^2

Но CD = 1/√3 * AB (поскольку CD делит гипотенузу AB в пропорции 1:√3), и AB = BD (поскольку CD является высотой, опущенной из вершины C).

Теперь мы можем записать:

BC^2 + (1/√3 * AB)^2 = AB^2

BC^2 + (1/√3)^2 * AB^2 = AB^2

BC^2 + (1/3) * AB^2 = AB^2

Теперь выразим BC^2, сводя все катеты на одну сторону:

BC^2 = AB^2 - (1/3) * AB^2

BC^2 = (1 - 1/3) * AB^2

BC^2 = (2/3) * AB^2

Таким образом, мы доказали, что катет BC, лежащий против угла в 30°, равен sqrt(2/3) раз длине гипотенузы AB.

Надеюсь, это объяснение было полезным! Если у вас есть еще вопросы или что-то непонятно, не стесняйтесь спрашивать.