Question

Высота правильной трехугольной пирамиды в 2 раза больше, чем сторона основания. Найдите двукратный угол при боковом ребре.

Answer 1

Примем сторону основания за a = 1, высоту за H = 2.

Высота h основания равна: h = a(√3/2) = √3/2.

Проекция бокового ребра на основание равна (2/3)h = (2/3)*(√3/2) = √3/3. Отсюда находим боковое ребро L:

L = √(((2/3)h)² + H²) = √((3/9) + 4) = √(13/3).

Находим апофему А:

A = √(L² - (a/2)²) = √((13/3) - (1/4)) = √(52 - 3)/12) = 7/(2√3).

Площадь боковой грани Sбг = (1/2)aA = (1/2)*1*(7/(2√3)) = 7/(4√3)).

Высота hбр из вершины основания к боковому ребру равна:

hбр = 2S/L = (2*(7/(4√3)))/√(13/3) = 7/(2√13).

Отсюда можно определить искомый двугранный угол при боковом ребре как плоский угол δ между двумя перпендикулярами к боковому ребру.

cos δ = ((hбр)² + (hбр)² - a²)/(2*(hбр)*(hбр)) = ((2*49)/(4*13) - 1)/(2*49/13) = 23/49.

δ = arccos(23/49) = 1,0822  радиан = 62,0054 градуса.

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте обозначим некоторые величины: Пусть сторона основания трехугольной пирамиды равна "a", а её высота равна "h".

Условие задачи гласит, что высота пирамиды в 2 раза больше стороны основания, то есть: h = 2a

Теперь нарисуем боковое ребро пирамиды и угол, который нужно найти:

bashCopy code
       /\
      /  \
     /    \
    /______\
      a (основание)
   /__________\
   (боковое ребро)

Обратим внимание, что боковое ребро и высота пирамиды образуют прямоугольный треугольник, а высота пирамиды является его гипотенузой.

Используем теорему Пифагора для этого треугольника: (hypotenuse)^2 = (side1)^2 + (side2)^2

Где: hypotenuse - высота пирамиды (h). side1 - половина стороны основания (a/2). side2 - боковое ребро пирамиды.

Подставим известные значения: h^2 = (a/2)^2 + (side2)^2 (2a)^2 = (a/2)^2 + (side2)^2 4a^2 = a^2/4 + (side2)^2

Теперь решим уравнение относительно (side2)^2: 4a^2 - a^2/4 = (side2)^2 (16a^2 - a^2)/4 = (side2)^2 (15a^2)/4 = (side2)^2

Теперь найдем (side2) - длину бокового ребра: side2 = √[(15a^2)/4] side2 = (a√15)/2

Теперь у нас есть длина бокового ребра пирамиды. Двукратный угол при боковом ребре обозначим как "2θ".

Тангенс угла "θ" равен отношению противолежащего катета (сторона основания "a") к прилежащему катету (половина длины бокового ребра "a/2" ):

tan(θ) = a / (a/2) = 2

Теперь найдем угол "θ" через тангенс:

θ = arctan(2)

Итак, мы нашли угол "θ". Чтобы найти двукратный угол "2θ", умножим "θ" на 2:

2θ = 2 * arctan(2)

Окончательный ответ:

Двукратный угол при боковом ребре пирамиды равен 2 * arctan(2).