Question

Помогите пожалуйста Окружность вписанная в треугольник ABC, касается стороны AB в точке K и стороны BC в точке L, при этом AK:KB=1:2, BL:LC=3:2. Периметр треугольника равен 104. Чему равны стороны?

Answer 1

Ответ:

36 ; 40  ; 28

Объяснение:

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся следующими фактами о вписанной окружности в треугольник:

1. Точка касания окружности с стороной треугольника делит эту сторону на два отрезка, и произведение длин этих отрезков равно квадрату радиуса окружности.
2. Периметр треугольника равен сумме длин сторон.

Пусть радиус окружности равен r. Тогда по условию:

AK : KB = 1 : 2, BL : LC = 3 : 2.

Пусть AK = x, тогда KB = 2x. Пусть BL = 3y, тогда LC = 2y.

Теперь можно выразить длины сторон треугольника через r, x и y:

AB = AK + KB = x + 2x = 3x, BC = BL + LC = 3y + 2y = 5y, AC = AK + KB + BL + LC = x + 2x + 3y + 2y = 3x + 5y.

Зная периметр треугольника, мы можем записать уравнение:

AB + BC + AC = 104, 3x + 5y + 3x + 104, 6x + 5y = 104.

Теперь найдем квадрат радиуса окружности:

r^2 = AK * KB = x * 2x = 2x^2, r^2 = BL * LC = 3y * 2y = 6y^2.

Теперь нам нужно связать радиус окружности с длинами сторон треугольника. Зная, что радиус окружности можно выразить через площадь треугольника (S) и полупериметр (p) следующим образом:

r = S / p,

где S = sqrt(p * (p - AB) * (p - BC) * (p - AC)) - площадь треугольника, p - полупериметр.

Тогда

2x^2 = 6y^2 = (sqrt(104 * (104 - 3x) * (104 - 5y) * (104 - (3x + 5y))) / (104 + 3x + 5y)).

Теперь у нас есть два уравнения:

6x + 5y = 104, 2x^2 = 6y^2 = (sqrt(104 * (104 - 3x) * (104 - 5y) * (104 - (3x + 5y))) / (104 + 3x + 5y)).

Мы можем решить эти уравнения численно или с помощью компьютерных программ, так как аналитическое решение будет довольно сложным. Например, методом численного решения, таким как метод Ньютона или метод бисекции. Численное решение позволит найти значения x и y, а затем легко найти длины сторон AB, BC и AC.