Question

Все ребра правильной шестиугольной призмы равны a. найдите радиус описанного шара

Answer 1

Ответ:

$V=\frac{5\sqrt{5}*a^{2} \pi}{6}$

Объяснение:

диагональное сечение призма + описанный шар = прямоугольник со сторонами а и 2а.

а - высота призмы

2а - бОльшая диагональ призмы

d - диагональ призмы - диаметр шара ,вписанного в правильную шестиугольную призму

рассмотрим прямоугольный треугольник:

катет а

катет 2а

гипотенуза d, найти по теорема Пифагора

d²=a²+(2a)², d²=5a². d=a√5

радиус шара: $R=\frac{a\sqrt{5} }{2}$

объём шара: $V=\frac{4}{3}*\pi *R^{3}$

$V=\frac{4}{3}*\pi*(\frac{a\sqrt{5}}{2})^{3}=\frac{4}{3}*\pi*\frac{a^{3}*5*\sqrt{5}}{8}=\frac{5\sqrt{5}*a^{2}\pi}{6}$

Answer 2

Чтобы найти радиус описанного шара правильной шестиугольной призмы, мы можем воспользоваться следующими шагами:

1. Найдем высоту призмы (h): Поскольку призма правильная, то ее высота будет проходить через центр основания и составлять равнобедренный треугольник с боковым ребром. Таким образом, можем разделить призму на два треугольника, каждый из которых будет равнобедренным со сторонами a, a и h.

   Рассмотрим один из таких треугольников. Мы знаем, что у равнобедренного треугольника медиана, проведенная из вершины к основанию, является также высотой и делит основание пополам. Поэтому, если половина основания равна a/2, то получим следующее:

   (a/2)^2 + h^2 = a^2 h^2 = a^2 - (a/2)^2 h^2 = a^2 - a^2/4 h^2 = 3a^2/4 h = sqrt(3a^2)/2 h = (sqrt(3)/2) * a

2. Найдем радиус описанного шара (R): Радиус описанного шара будет равен радиусу описанной окружности основания призмы. Поскольку основание шестиугольной призмы - это правильный шестиугольник, то радиус описанной окружности равен длине стороны правильного шестиугольника.

   Радиус описанной окружности правильного шестиугольника равен a.

Таким образом, радиус описанного шара R будет равен a.