Question

Коло вписане в прямокутний трикутник abc дотикається до гіпотенузи ab у точці f. Знайдіть радіус вписаного кола якщо ac=9 см. AF:FB=2:3​

Answer 1

Відповідь:

3 см

Пояснення:

Відомо, що коло, вписане в трикутник, точками дотику до сторін відділяє рівні відрізки зі сторони кожної вершини.

Також відомо, що висоти - радіуси, проведені із центра такого кола в прямокутному трикутнику до катетів утворюють з відрізками від точок дотику до вершини прямого кута квадрат зі стороною, рівною радіусу вписаного кола.

Згідно з умовою, позначимо AF як 2x, FB як 3x, тоді

r=9-2x

За теоремою Піфагора складемо рівняння:

9²+ (9-2х+3х)²=(2х+3х)²

81+(9+х)²=25х²

81+81+18х+х²-25х²=0

24х²-18х-162=0

4х²-3х-27=0

Дискрімінант: Д=9+4*4*27=441=21²

х₁=(3+21)/8=3 см

х₂=(3-21)/8=-2.25 см (не підходить).

Тоді r=9-2·3=3 см

Answer 2

Для знаходження радіуса вписаного кола в прямокутний трикутник, спочатку знайдемо довжину гіпотенузи та половину периметра трикутника, а потім за допомогою формули радіусу вписаного кола в прямокутний трикутник знайдемо радіус.

Дано: AC = 9 см (довжина одного катета) AF : FB = 2 : 3 (відношення, в якому точка F ділить гіпотенузу AB)

Крок 1: Знайдемо довжину гіпотенузи AB:

Маємо відношення AF : FB = 2 : 3.

Нехай AF = 2x (де x - довжина AF), тоді FB = 3x.

Знаємо, що AF + FB = AB, тому:

2x + 3x = AB 5x = AB

Крок 2: Знайдемо довжину гіпотенузи AB за допомогою теореми Піфагора:

AB^2 = AC^2 + BC^2 AB^2 = 9^2 + BC^2 AB^2 = 81 + BC^2

Крок 3: Знайдемо довжину BC:

5x = AB 5x = √(81 + BC^2) 25x^2 = 81 + BC^2 BC^2 = 25x^2 - 81 BC = √(25x^2 - 81)

Крок 4: Знайдемо довжину гіпотенузи AB:

AB = 5x = 5 * (√(25x^2 - 81))

Крок 5: Знайдемо половину периметра трикутника:

s = (AB + AC + BC) / 2 s = (5 * (√(25x^2 - 81)) + 9 + √(25x^2 - 81)) / 2

Крок 6: Знайдемо радіус вписаного кола за допомогою формули:

r = A / s де A - площа трикутника, s - половина периметра трикутника.

Крок 7: Знайдемо площу трикутника за допомогою формули Герона:

A = √(s * (s - AB) * (s - AC) * (s - BC))

Крок 8: Підставимо значення площі трикутника та половини периметра у формулу для радіусу:

r = √((s * (s - AB) * (s - AC) * (s - BC)) / s)

r = √((s - AB) * (s - AC) * (s - BC))

Тепер можемо обчислити радіус вписаного кола, підставивши значення s, AB, AC та BC:

r = √((s - AB) * (s - AC) * (s - BC))

Здійснюючи необхідні обчислення, отримаємо радіус вписаного кола.