Question

Знайти найбільше і найменше значення функції y=x4-4x3-8x2 на відрізку (-2;1\2)

Answer 1

1 найдем производную функции, ею будет 4х³-12х²-16х

2. приравняем ее нулю, найдем критические точки.

4х³-12х²-16х=0

4х*(х²-3х-4)=0

х=0, по теореме, обратной теореме Виета, х=4, х=-1

Из полученных корней указанному отрезку принадлежат  корни ноль и минус один.

3. найдем значение функции в критических точках 0; -1 и на концах отрезка. и укажем наибольшее и наименьшее значения.

у(-1)=1+4-8=-3 - наименьшее значение функции

у(0)=0

у(-2)=16-4*(-8)-8*4=16  - наибольшее значение функции

у(1/2)=1/16-4*(1/8)-8*(1/4)=-2 целых и 7/16

Answer 2

Для знаходження найбільшого і найменшого значення функції y = x^4 - 4x^3 - 8x^2 на відрізку (-2, 1/2), спершу знайдемо критичні точки функції в цьому інтервалі, а потім оберемо значення функції на цих точках та на кінцях відрізку.

1. Знайдемо похідну функції y = x^4 - 4x^3 - 8x^2 та розв'яжемо рівняння для пошуку критичних точок:

y = x^4 - 4x^3 - 8x^2 y' = 4x^3 - 12x^2 - 16x

Поставимо y' рівне нулю і розв'яжемо для x:

0 = 4x^3 - 12x^2 - 16x 0 = x(4x^2 - 12x - 16) 0 = x(2x - 8)(2x + 2)

Отримали три значення x: x = 0, x = 4, x = -1.

2. Знайдемо значення функції y на цих критичних точках та на кінцях відрізку (-2, 1/2):

a) x = -2 y = (-2)^4 - 4(-2)^3 - 8(-2)^2 = 16 + 32 - 32 = 16

б) x = -1 y = (-1)^4 - 4(-1)^3 - 8(-1)^2 = 1 + 4 - 8 = -3

в) x = 0 y = 0^4 - 4(0)^3 - 8(0)^2 = 0

г) x = 1/2 y = (1/2)^4 - 4(1/2)^3 - 8(1/2)^2 = 1/16 - 1 - 2 = -33/16

д) x = 4 y = 4^4 - 4(4)^3 - 8(4)^2 = 256 - 512 - 128 = -384

3. Знаходимо найбільше і найменше значення серед знайдених значень:

Найбільше значення: 16 (досягається на x = -2) Найменше значення: -384 (досягається на x = 4)

Отже, найбільше значення функції на відрізку (-2, 1/2) дорівнює 16, а найменше значення -384.