Question

На боковых сторонах равнобедренного ∆ABC отложены равные отрезки BM и BN. BD- медиана. Докажите, что MD=ND​

Answer 1

Ответ:

BM=BN(1) по условию, BD = общая сторона треугольников BMD и BND(2), и так как медиана, проведенная к основанию является биссектрисой, то BD - биссектриса и <ABD=<DBC, отсюда <MBD=<DBN(3).

Из этих трех равенств следует, что треуг. MBD=BDN по первому свойству, откуда MD=ND

Answer 2

Для доказательства равенства MD = ND в данной ситуации, мы можем воспользоваться свойством медианы треугольника. Медиана треугольника делит противоположную ей сторону пополам.

Пусть точка M делит сторону AC пополам, то есть AM = MC. Поскольку BM и BN равные отрезки, мы также можем записать, что AM = MC = BM = BN.

Теперь рассмотрим треугольники BDM и BDN. У нас есть две равные стороны: BM = BN и MD = ND (поскольку MD и ND - это отрезки, проведенные из одной точки до середины стороны BC). Мы также знаем, что у этих треугольников есть общая сторона BD.

Из этих сведений следует, что треугольники BDM и BDN равны по двум сторонам и общей стороне. Поэтому, по свойству равенства треугольников (ССС), углы DBM и DBN также равны.

Теперь рассмотрим треугольник MDC. У нас есть два равных угла: угол M и угол N (поскольку угол M и угол N - это вертикальные углы, образованные пересекающимися прямыми BM и BN). Мы также знаем, что у этого треугольника есть общая сторона MD и ND.

Из этих сведений следует, что треугольники MDC и NDC равны по двум углам и общей стороне. Поэтому, по свойству равенства треугольников (УГУ), стороны MD и ND также равны.

Таким образом, мы доказали, что MD = ND, что и требовалось доказать.