Question

Помогите решить 13 задание по проф. математике решите уравнение а) 2log0,75^2(sin x)+3 log0,75(sin x)-2=0 б) укажите корни этого уравнения, принадлеж. отрезку( 5пи/2; 4пи)

Answer 1

Ответ:

a. $x_{1} =\frac{\pi}{3}+2\pi n,$n∈Z

$x_{2}=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,$n∈Z

б. \frac{8\pi}{3}[/tex]

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для решения уравнения a) 2log₀,₇₅²(sin x) + 3log₀,₇₅(sin x) - 2 = 0, давайте введем замену: пусть t = log₀,₇₅(sin x). Тогда уравнение примет вид:

2t² + 3t - 2 = 0

Чтобы решить это квадратное уравнение, воспользуемся формулой дискриминанта. Дискриминант D для данного уравнения будет равен:

D = b² - 4ac где a = 2, b = 3 и c = -2.

D = 3² - 4 * 2 * (-2) D = 9 + 16 D = 25

Так как дискриминант D положителен, у уравнения есть два действительных корня. Найдем их, используя формулы:

t₁ = (-b + √D) / 2a t₂ = (-b - √D) / 2a

t₁ = (-3 + √25) / 2 * 2 t₁ = (-3 + 5) / 4 t₁ = 2 / 4 t₁ = 0.5

t₂ = (-3 - √25) / 2 * 2 t₂ = (-3 - 5) / 4 t₂ = -8 / 4 t₂ = -2

Теперь вернемся к исходной переменной t = log₀,₇₅(sin x) и найдем sin x:

т₁: t = log₀,₇₅(sin x) = 0.5 0,75^t = sin x 0,75^0,5 ≈ 0.866 (округляем до трех знаков после запятой)

т₂: t = log₀,₇₅(sin x) = -2 0,75^(-2) = 1 / 0,75² ≈ 1.778 (округляем до трех знаков после запятой)

Теперь нужно найти углы x, которые удовлетворяют условиям sin x ≈ 0,866 и sin x ≈ 1,778. Отметим, что значения синуса должны лежать в пределах от -1 до 1. Это означает, что первый корень не подходит, а второй корень не имеет решений на заданном отрезке (так как sin x не может быть больше 1).

Таким образом, уравнение a) не имеет решений на отрезке (5π/2; 4π).