Question

Точка пересечения медиан АА1, ВВ1,СС1 треугольника АВС, является центром окружности, вписаной в треугольник А1В1С1. Докажите, что треугольник АВС- равносторонний​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:  Решение : //////////////////

Answer 2

Для доказательства того, что треугольник АВС является равносторонним, нам нужно использовать информацию о центре окружности, вписанной в треугольник А1В1С1. Обозначим центр этой окружности как О, а радиус как r.

Так как точка O является центром вписанной окружности треугольника А1В1С1, то линии ОА1, ОВ1 и ОС1 являются радиусами этой окружности, а значит, они равны ее радиусу r.

Также, известно, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центром масс (или барицентром) треугольника. Обозначим точку пересечения медиан треугольника АВС как М.

Теперь рассмотрим треугольники АОМ и А1ОМ. У них совпадают стороны ОМ (так как это медиана треугольника АВС и А1В1С1) и ОА1 (равные радиусы вписанной окружности). Кроме того, стороны АО и АО1 также равны, так как это радиусы одной и той же вписанной окружности. Поэтому треугольники АОМ и А1ОМ равны по стороне-стороне-стороне.

Аналогично можно доказать, что треугольники ВОМ и В1ОМ, а также СОМ и С1ОМ равны по стороне-стороне-стороне.

Теперь, заметим, что треугольник АВС и треугольник А1В1С1 являются подобными, так как у них углы при вершинах А, В и С совпадают (по построению, О - центр вписанной окружности), и соответствующие стороны пропорциональны (стороны ОМ и ОА1 равны по предыдущему доказательству).

Теперь, так как треугольник АВС подобен треугольнику А1В1С1, и сторона АВС пропорциональна стороне А1В1С1, а сторона А1В1С1 равносторонняя (по условию, это треугольник с вписанной окружностью), то треугольник АВС тоже равносторонний.

Таким образом, треугольник АВС является равносторонним.