Question

Два кола перетинаться в точках А і В. Через точку В проведено січну, що перетинає кола в точках C i D. Довести, що ∠CAD не залежить від вибору січної. (8-9 клас, можнаукраїннською або російською)

Answer 1

Решение на фото//////

Answer 2

Для доведення того, що ∠CAD не залежить від вибору січної, зробимо спочатку спостереження.

Спостереження:

1. ∠CAB і ∠CDB - кутові у тому ж сегменті кола (однакового дугового сегмента).
2. ∠BCA і ∠BDA - опорні кути, утворені дотичними до кола і хордою, що мають один і той же центр (B).
3. ∠CAB і ∠CBA - сума цих кутів дорівнює 180° (теорема про суму кутів в трикутнику).

Тепер, давайте доведемо, що ∠CAD не залежить від вибору січної:

Доведення:

1. Нехай Е і F - точки перетину кола з обраною січною (сегмент AB).
2. За спостереженнями маємо ∠CAB = ∠CDB і ∠CBA = ∠CDA (коло, опорний кут).
3. Також, маємо ∠BCA = ∠BDA, оскільки це також опорні кути (дотична і хорда).
4. Враховуючи, що сума кутів в трикутнику дорівнює 180°, отримуємо: ∠BAC = 180° - ∠CAB - ∠BCA = 180° - ∠CDB - ∠BDA = ∠BAD.
5. Тепер звернімось до трикутника ABC і трикутника ABD. За правилом, синус кута у прямокутному трикутнику дорівнює відношенню протилежного катета до гіпотенузи.
6. У трикутнику ABC: sin(∠CAB) = AB / AC.
7. У трикутнику ABD: sin(∠BAD) = AB / AD.
8. Оскільки AB - спільний катет для обох трикутників, ми можемо записати: sin(∠CAB) = sin(∠BAD) => ∠CAB = ∠BAD.
9. Таким чином, ∠CAD не залежить від вибору січної, оскільки воно дорівнює ∠BAD, яке є фіксованим, адже воно утворюється хордою і дотичною до кола з тією ж точкою дотику.