Question

В треугольнике АВС (АВ = ВС) проведены высоты BN и АМ, причем BN пересекает АМ в точке К. а) Докажите, что треугольники АМС и BNC подобны.б) Найдите коэффициент подобия указанных треугольников, если <ABC=120°.​

Answer 1

1) У треугольников AMC и BNC $\angle C$ — общий и ∠BNC = ∠AMC, следовательно, ΔAMC ~ ΔBNC по двум углам.

2) Поскольку BN - высота, медиана и биссектриса, то $\angle ABN=\angle NBC=\dfrac{\angle ABC}{2}=\dfrac{120^\circ}{2}=60^\circ$

Коэффициент подобия: $k=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{2CN}{BC}=\dfrac{2\cdot BC\sin60^\circ}{BC}=2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$

Answer 2

Для доказательства подобия треугольников АМС и BNC, мы должны показать, что у них соответственные углы равны, а их стороны пропорциональны.

а) Поскольку треугольник АВС равнобедренный (АВ = ВС), то углы А и С также равны. Рассмотрим треугольник АМС. У него угол АМС является прямым углом, так как АМ - высота. Таким образом, угол АМС равен 90 градусам.

Рассмотрим треугольник BNC. У него угол BNC также является прямым углом, так как BN - высота. Таким образом, угол BNC равен 90 градусам.

Таким образом, у треугольников АМС и BNC есть два равных угла (прямые углы), поэтому они подобны по признаку двух углов.

б) Поскольку треугольники АВС и АМС подобны (так как АМ - высота), то соотношение их сторон равно отношению соответствующих сторон.

Пусть коэффициент подобия треугольников АВС и АМС равен k. Тогда мы можем записать:

AC / AM = BC / CS = k

Учитывая, что АВ = ВС, мы получаем:

AC / AM = AC / CS = k

Таким образом, отношение сторон AC и AM равно коэффициенту подобия k.

Теперь рассмотрим треугольники BNC и АМС. Поскольку BN и АМ являются высотами, мы можем записать:

BN / AM = BC / CS

Поскольку BC / CS = AC / AM = k, мы получаем:

BN / AM = k

Таким образом, отношение сторон BN и AM также равно коэффициенту подобия k.

Таким образом, коэффициент подобия треугольников АМС и BNC равен k.