Question

В треугольнике АВС (АВ = ВС) проведены высоты BN и АМ, причем BN пересекает АМ в точке К. а) Докажите, что треугольники АМС и BNC подобны. б) Найдите коэффициент подобия указанных треугольников, если угол=120°.​

Answer 1

Ответ:

Если правильно поняла задание)))

Объяснение:

Answer 2

а) В треугольнике $ABC$ рассмотрим две высоты $BN$ и $AM$. Так как $AB=BC$, то $BM$ является медианой в треугольнике $ABC$, а значит, $BM$ делит сторону $AC$ пополам. Также, так как $BN$ и $AM$ являются высотами, они перпендикулярны соответствующим сторонам. Пусть точка пересечения $BN$ и $AM$ обозначена как $K$.

Тогда из прямоугольных треугольников $ABK$ и $CBK$ следует, что:

$$\begin{aligned} \cos(\angle BAC) &= \frac{BK}{AB}, \\ \cos(\angle BCA) &= \frac{BK}{BC}. \end{aligned}$$

Так как $AB=BC$, то $\cos(\angle BAC) = \cos(\angle BCA)$. Значит, углы при вершине $C$ и $A$ в треугольниках $BNC$ и $AMC$ соответственно равны, а также угол $C$ равен $90^\circ$, следовательно, по признаку углы-углы эти треугольники подобны: $\triangle BNC \sim \triangle AMC$.

б) Так как угол $C$ равен $120^\circ$, то углы при вершине $B$ и $A$ равны $30^\circ$. Также, из того, что $AB=BC$, следует, что угол при вершине $C$ также равен $30^\circ$. Из подобия треугольников $BNC$ и $AMC$ следует, что соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны. Пусть коэффициент подобия равен $k$, тогда:

$$\frac{CN}{AM} = k \quad \text{и} \quad \frac{BN}{MC} = k.$$

Так как угол $C$ равен $30^\circ$, то $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, а также $CN = BC\cos(30^\circ) = \frac{1}{2}BC$. Также, так как $BN=BC$, то $\frac{BN}{MC} = \frac{BC}{MC}$. Используя эти равенства, получим:

$$\begin{aligned} \frac{1}{2} &= k \cdot \frac{AM}{BC}, \\ 1 &= k \cdot \frac{BC}{MC}. \end{aligned}$$

Из этих равенств следует:

$$\begin{aligned} \frac{AM}{BC} &= 2k, \\ \frac{BC}{MC} &= k. \end{aligned}$$

Учитывая, что $\frac{AM}{BC} + \frac{BC}{MC} =