Question

Помогите, пожалуйста, решить. Окружность, проходящая через вершину А треугольника АВС, касается стороны ВС в точке М и пересекает стороны АС и АВ соответсвенно в точках L и К, отличных от вершины А. Найдите отношение АС:АВ, если известно, что длина отрезка LC в два раза больше длины отрезка КВ, а отношение СМ:ВМ=3:2

Answer 1

По теореме о секущей и касательной:

            $BM^2=BK\cdot AB\\ MC^2=CL\cdot AC$

Из условия LC = 2KB . Рассмотрим отношение

$\dfrac{CM^2}{BM^2}=\dfrac{CL\cdot AC}{BK\cdot AB}=\dfrac{2BK\cdot AC}{BK\cdot AB}=2\cdot \dfrac{AC}{AB}=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2\\ \\ 2\cdot \dfrac{AC}{AB}=\dfrac{9}{4}~~~~\Rightarrow~~ \boxed{\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{9}{8}}$

Ответ: 9 : 8.

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте обозначим следующие длины:

Пусть $AC = x$, тогда $AB = 2x$ (так как дано, что $LC$ в два раза больше $KB$).

Теперь обратим внимание на отношение $SM : VM = 3 : 2$. Заметим, что точка $M$ - это точка касания окружности со стороной $BC$, а следовательно, это точка деления стороны $BC$ в отношении $BM:MC = 2:3$ (так как дано, что $SM : VM = 3 : 2$).

Теперь нам нужно найти длины сторон $BL$ и $CL$ в зависимости от $x$. Поскольку точка $M$ является точкой касания окружности с $BC$, то $BM$ и $CM$ являются касательными к окружности. Таким образом, по свойству касательной и хорды, произведение длин отрезков касательных, составляющих угол, равно квадрату длины хорды между точками касания.

Мы знаем, что $KB : BM = 2:3$. Пусть $BL = a$ и $LC = 2a$ (так как дано, что $LC$ в два раза больше $KB$). Тогда, учитывая свойство касательной и хорды:

$KB \cdot BM = BL \cdot LC$

Подставим известные значения:

$\frac{2}{5}x \cdot \frac{3}{5}x = a \cdot 2a$

Упростим:

$\frac{6}{25}x^2 = 2a^2$

Теперь найдем $a$ через $x$:

$a^2 = \frac{3}{25}x^2$

$a = \sqrt{\frac{3}{25}x^2}$

$a = \frac{\sqrt{3}}{5}x$

Теперь мы можем выразить длины сторон $BL$ и $CL$ в зависимости от $x$:

$BL = \frac{\sqrt{3}}{5}x$

$CL = 2a = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{5}x = \frac{2\sqrt{3}}{5}x$

Теперь мы можем найти отношение $AC : AB$:

$AC : AB = x : 2x = 1 : 2$

Таким образом, отношение сторон $AC$ и $AB$ равно $1 : 2$.