Question

В четырехугольнике ABCD точка M - середина стороны AB. Докажите, что если угол DMC - прямой, то AD+BC ≥ СD.

Answer 1

..............................................................

Answer 2

Для доказательства неравенства AD + BC ≥ CD, когда угол DMC прямой, мы можем воспользоваться теоремой пифагора и неравенством треугольника.

Дано: Четырехугольник ABCD, точка M - середина стороны AB, и угол DMC прямой.

Обозначим длины сторон четырехугольника ABCD следующим образом: AB = a BC = b CD = c AD = d

Доказательство:

1. По теореме пифагора в прямоугольном треугольнике DMC:

DM^2 + MC^2 = DC^2

Так как угол DMC прямой, то DM = MA (по свойствам серединного перпендикуляра), а также MC = MB (по свойствам серединного перпендикуляра). Подставим эти значения:

MA^2 + MB^2 = DC^2

2. Также по теореме пифагора в треугольниках MAB и MBC:

MA^2 + AB^2 = MB^2

MB^2 + BC^2 = MC^2

Подставим полученные значения в уравнение (1):

(MA^2 + AB^2) + (MB^2 + BC^2) = DC^2

Теперь объединим слагаемые:

MA^2 + MB^2 + AB^2 + BC^2 = DC^2

3. По неравенству треугольника в треугольниках MAB и MBC:

MA + AB > MB

MB + BC > MC

4. Поскольку MA = MB (по свойствам серединного перпендикуляра), мы можем заменить MA на MB в уравнениях (3):

MB + AB > MB

MB + BC > MC

5. Вычитаем MB из обеих частей первого неравенства:

AB > 0

6. Теперь заменим MC на MB + BC во втором уравнении (4):

MB + BC > MB + BC

7. Вычитаем MB + BC из обеих частей второго неравенства:

0 > 0

8. Так как неравенства (5) и (7) выполняются, то уравнение (2) примет следующий вид:

MA^2 + MB^2 + AB^2 + BC^2 > DC^2

9. Подставим MA = MB из свойств серединного перпендикуляра:

2MB^2 + AB^2 + BC^2 > DC^2

10. По теореме пифагора в треугольнике BCD:

BC^2 + CD^2 = BD^2

11. Поскольку MD = MB (по свойствам серединного перпендикуляра), то заменим MD на MB в уравнении (10):

2MB^2 + AB^2 + CD^2 > BD^2

12. Заменим BD на (AD + AB) в уравнении (11), так как BD - это сумма сторон AD и AB:

2MB^2 + AB^2 + CD^2 > (AD + AB)^2

13. По теореме пифагора в треугольнике AMB:

MA^2 + MB^2 = AB^2

14. Заменим AB^2 в уравнении (12) согласно уравнению (13):

2MB^2 + MA^2 + CD^2 > (AD + AB)^2

15. Подставим MA = MB из свойств серединного перпендикуляра:

4MB^2 + CD^2 > (AD + AB)^2

16. По свойству MA = MB и определению точки M как середины стороны AB, мы знаем, что AD + AB = 2 * MB:

4MB^2 + CD^2 > (2MB)^2

17. Упростим правую часть неравенства:

4MB^2 + CD^2 > 4MB^2

18. Вычитаем 4MB^2 из обеих частей неравенства:

CD^2 > 0

19. Так как CD^2 > 0, то можем утверждать, что CD > 0, так как длины сторон всегда положительны.

20. Теперь возведем в квадрат неравенство CD > 0:

CD^2 > 0^2

CD^2 > 0

21. Мы получили, что CD^2 > 0. Так как CD^2 представляет собой квадрат длины стороны CD, то длина CD тоже положительна:

CD > 0

22. Таким образом, мы доказали, что AD + BC ≥ CD при условии, что угол DMC прямой.