Question

Через точку A, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке K. Другая прямая пересекает окружность в точках B и C, причём AB=6, BC=48. Найдите AK.

Answer 1

АС = АВ + ВС = 6 + 48 = 54 . По теореме о касательной и секущей

$AK^2=AB\cdot AC\\ AK=\sqrt{AB\cdot AC}=\sqrt{6\cdot54}=18$

Ответ: 18

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте воспользуемся свойствами касательных и хорд, проходящих через точки касания.

1. Первое свойство: Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Поэтому, AK будет перпендикулярна касательной в точке K.

2. Второе свойство: Произведение отрезков хорд, проходящих через точки пересечения хорды, равно произведению отрезков хорд, проходящих через точки касания.

Из этого свойства мы можем записать уравнение: AB * AC = AK^2

Мы знаем, что AB = 6 и BC = 48, поэтому: 6 * AC = AK^2

Теперь нам нужно найти AC. Для этого рассмотрим треугольник ABC.

3. Третье свойство: Если две хорды пересекаются внутри окружности, то произведение отрезков хорд, соединяющих пересечение хорд с точками касания, равно квадрату расстояния между точками пересечения.

Из этого свойства мы можем записать уравнение: AK^2 = KB * KC

Теперь нам нужно найти длину отрезка KB. Мы знаем, что BC = 48, поэтому:

KB * KC = AK^2 KB * 48 = AK^2

Теперь нам нужно найти длину отрезка KB. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник ABK.

4. Четвертое свойство: В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Мы знаем, что AB = 6, BC = 48, поэтому AK^2 + KB^2 = AB^2.

AK^2 + KB^2 = 6^2 AK^2 + KB^2 = 36

Теперь мы имеем два уравнения:

1. 6 * AC = AK^2
2. KB * 48 = AK^2
3. AK^2 + KB^2 = 36

Давайте решим систему уравнений. Сначала, используем уравнение (3) для нахождения значения KB:

KB^2 = 36 - AK^2 48 * KB = AK^2

Заменяем KB^2 во втором уравнении:

48 * (36 - AK^2) = AK^2 1728 - 48AK^2 = AK^2 1728 = 49AK^2 AK^2 = 1728 / 49 AK = sqrt(1728 / 49) AK ≈ 4.8

Теперь, используем AK в уравнении (1) для нахождения значения AC:

6 * AC = AK^2 6 * AC = (4.8)^2 6 * AC = 23.04 AC = 23.04 / 6 AC ≈ 3.84

Таким образом, AK ≈ 4.8 и AC ≈ 3.84.